Fracción

Para otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).

En matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)^[1] es la expresión de una cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado $\mathbb Q$ .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

tres cuartos más un cuarto

Contenido

1 Representación y modelización de fracciones
- 1.1 Numerador y denominador
- 1.2 Representación gráfica y analítica
2 Clasificación de fracciones
3 Operaciones con fracciones
4 Fracción como porcentaje
5 Historia
6 Fracción decimal
7 Fracción continua
8 Fracción unitaria
9 Fracción egipcia
10 Véase también
11 Notas y referencias
12 Enlaces externos

Representación y modelización de fracciones

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común $a / b$ el denominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es la cantidad de éstas consideradas.

Representación gráfica y analítica

Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.

Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

Notación y convenciones:
- en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
- una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o $-\dfrac{3}{4}$ , pero no 3/-4);
- una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco multiplicativo de b, de tal modo que $a/b\ = a \cdot 1/b\$ ; si tanto a como b son números negativos $( - a / - b)$ , el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
- toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de fracción.

La expresión genérica $a / b$ representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b $\neq 0$ ); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito peródico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Ejemplos

$\dfrac{3}{4}$ ; 3/4 ; ³/₄ ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;

$\dfrac{x^2}{(x+3)(x-3)}$ ; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x.

Clasificación de fracciones

1/2	un medio
1/3	un tercio
1/4	un cuarto
1/5	un quinto
1/6	un sexto
1/7	un séptimo
1/8	un octavo
1/9	un noveno
1/10	un décimo
1/11	un onceavo
1/12	un doceavo

Según la relación entre el numerador y el denominador:
- Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia: $3\$ ¼ , $2\$ ½ , $\dots\$
- Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador: $1/3\; , \; 3/8\; , \; 3/4\; , \dots\$
- Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: $13/6\; , \; 18/8 \; , \; 5/2 \; , \dots\$
- Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: $2/4 \; , \; 6/18 \; , \; 155/150\; , \dots \$
- Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada: $1/2 \; , \; 3/5 \; , \; 13/15\; , \dots \$
- Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: $2/3 \;\$ y $3/2\;\$ ; $1/2 \;\$ y $2\$ ; $\dots\$
Según la relación entre los denominadores:
- Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada: $1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100, \dots\$
- Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: $1/4 \$ y $3/4 \$ ; $1/27 \$ y $3/27 \$ $; \dots\$
- Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: $1/4 \$ y $3/5 \$ ; $-1/5 \$ y $5/1 \$ ; $\dots\$
- Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: $3/3=1\; ; \ 12/3=4\$ ; $\dots\$
- Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
Según la escritura del denominador:
- Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: $\frac{a}{10^n}$ , con a un entero positivo y n un natural.
- Fracción continua: es una expresión del tipo: $x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}$ .
Según la escritura del numerador:
- Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
- Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
- Fracción gradual^[2] : $\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot a_2}+\frac{1}{a_1\cdot a_2\cdot a_3}+\ \cdots$
Otras clasificaciones:
- Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.
- Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres, para la la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.
- Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios.

Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Operaciones con fracciones

Ejemplo de fraccción aparente.

Operaciones aritméticas

Algoritmo para la suma y resta:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd}=\frac{ad \pm bc}{bd}$

Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ .

Fórmula para el cociente: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ .

Fracción mixta

Toda fracción impropia $\frac{p}{q}$ puede escribirse como fracción mixta: $A$ ^a/_b, en donde $A$ ^a/_b denota $A+\frac{a}{b}$ (donde $A\in \mathbb{Z},~A\geq 0$ , es la parte entera).

Ejemplos:

$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ ,

$2\frac{3}{5}=13/5$ .

Fracción irreducible

Artículo principal: Fracción irreducible

Véanse también: Máximo común divisor y Algoritmo de Euclides

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador no son primos entre sí) siempre se puede reducir (o simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible.

Fracción equivalente

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.

Ejemplo:

las fracciones $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{2}{4}$ , $\dfrac{3}{6}$ y $\dfrac{x}{2x}$ son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

Ejemplos:

$\dfrac{x}{2x}= \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{1}{2}$ en donde $\dfrac{x}{x}=1$ .

$\dfrac{3}{6}= \dfrac{3}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$ en donde $\dfrac{3}{3}=1$ .

El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la única fracción equivalente irreducible del conjunto.

Fracción como porcentaje

Artículo principal: Porcentaje

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100: utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.

Ejemplos:

La expresión de un número por mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.

Una parte por billón (notado ppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.

Historia

Véase también: Historia de la matemática

Las primeras fracciones fueron utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.^[3] Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones vulgares o comunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.

En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El jeroglífico de una boca abierta

denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60. El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

Khwarizmi introduce las fracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en su Liber Abaci (Libro del Ábaco^[2] ), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como fracciones egipcias, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos.

**Cronología**^[4]
Año	Acontecimiento
1800	Registro de uso de fracciones por el Imperio Babilónico.
1650 a.C.	Sistema egipcio con fracciones unitarias.
500-600 d.C.	Aryabhata y Brahmagupta desarrollan las fracciones unitarias.
100	Sistema chino de cálculo de fracciones con varillas (Suanpan).
1202	Fibonacci difunde la notación con barra para separar numerador y denominador.
1585	Teoría sobre las fracciones decimales de Simón Stevin.
1700	Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblícua).

Fracción decimal

Véase también: Representación decimal

Una fracción decimal es una fracción del tipo $\frac{a}{10^n}$ , es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por un potencia apropiada de $\frac{10^n}{10^n}$ (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.

Históricamente, se cree que eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y de ahi se extendieron a medio Oriente y Europa.^[5] J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X.^[6]

Khwarizmi introduce las fracciones al mundo islámico a comienzos del siglo IX. Su representacipin de las fracciones está tomada de la matemática tradicional china. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y en el siglo XV por Jamshīd al-Kāshī en su trabajo La llave aritmética.

El uso moderno fue definitivamente introducido por Simon Stevin en el siglo xvi.^[7]

Fracción continua

Artículo principal: Fracción continua

Se llama fracción continua de orden n a toda expresión de la forma:

$x = a_0 + \cfrac {1} {a_1 + \cfrac {1} {a_2 + \cfrac {1} { \begin{array}{l} \ddots \\ {a_{n-2} + \cfrac {1} {a_{n-1} + \cfrac {1} {a_n} } } \end{array} } } }$

En donde $(a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)\$ es una sucesión de enteros positivos.

Las fracciones continuas proporcionan una escritura alternativa de los números reales. Históricamente fueron utilizadas por los matemáticos indios desde el siglo VI. Fueron estudiadas por Brahmagupta e introducidas en Europa definitivamente en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Pierre de Fermat y Christiaan Huygens, entre otros.

Fracción unitaria

Artículo principal: Fracción unitaria

Fracción común en que el numerador es siempre 1 y el denominador un entero positivo: $1/2 \; , \ 1/3 \; , \ 1/4\; , \dots\$

Las fracciones unitarias son los recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de los enteros positivos). Las fracciones egipcias son un ejemplo de fracción unitaria.

Ejemplos:

La serie armónica : $\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$

Fracción egipcia

Artículo principal: Fracción egipcia

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionales.

Una fracción egipcia es la representación de una fracción común -positiva- por medio de una suma de fracciones unitarias distintas (es decir que cada sumando tiene distinto denominador y numerador igual a 1).

Ejemplos:

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180}$

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Todo número racional positivo se puede expresar como suma fracciones egipcias, aunque esta representación no es única, como se aprecia en el ejemplo.

Véase también

Números

Complejos $\mathbb{C}$

Reales $\mathbb{R}$

Racionales $\mathbb{Q}$

Enteros $\mathbb{Z}$

Naturales $\mathbb{N}$

Negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Notas y referencias

↑ «fracción», Diccionario de la lengua española (vigésima segunda edición), Real Academia Española, 2001, http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=fracci%C3%B3n
↑ ^a ^b Estudiadas por Fibonacci
↑ Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics (6th ed. edición). Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.
↑ Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
↑ «Decimal System». Science and Civilisation in China, Volume III. Cambridge University Press. 1959.
↑ «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. 2007. p. 518. ISBN 9780691114859.
↑ A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag. 1985.

Weisstein, Eric W. «Fraction» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Decimal fraction» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

Enlaces externos

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Operaciones con fracciones

Categorías:

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Sinónimos:

fraccionamiento, parte, trozo, fragmento, porción, cacho, pedazo / quebrado, división, decimal, cociente

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fracción — {{＃}}{{LM F18195}}{{〓}} {{SynF18663}} {{［}}fracción{{］}} ‹frac·ción› {{《}}▍ s.f.{{》}} {{＜}}1{{＞}} Cada una de las partes en que se divide un todo y que se consideran de forma separada: • Una fracción del campo está sembrada de trigo.{{○}}… … Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos
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