- Grupoide de Lie
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Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.
Definición
- Un grupoide de Lie es un G grupoide con base M tal que
- G, M son variedades diferenciales.
, las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
, la aplicación unidad, es diferenciable.- La multiplicación
es diferenciable.
Observar que si denotamos ΔM la diagonal de M, entonces
. Como 
es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que G * G es una subvariedad incrustada y cerrada de 
y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.Ejemplos
- Sea (E,q,M) un fibrado vectorial y
es lineal }, es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si 
, definimos s(ξ) = x, el origen de ξ y t(ξ) = y, el destino de ξ. Claramente 
Si 
, la composición ηξ sólo tiene sentido si t(ξ) = s(η). Si se define 
Entonces existe un producto 
definido como arriba. De esta forma Φ(E) es un grupoide con base M, donde 
son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.
- Sea M una variedad diferenciable y G un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial
es un grupoide de Lie.
- Un grupoide de Lie es un G grupoide con base M tal que
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