Grupo de Lie

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En matemática, un grupo de Lie (nombrado así por Sophus Lie) es una variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones de grupo: multiplicación e inversión son funciones analíticas. Los grupos de Lie son importantes en análisis matemático, física y geometría porque sirven para describir la simetría de estructuras analíticas. Fueron introducidos por Sophus Lie en 1870 para estudiar simetrías de ecuaciones diferenciales.

Mientras que el espacio euclídeo Rⁿ es un grupo de Lie real (con la adición ordinaria de vectores como operación de grupo), ejemplos más típicos son grupos de matrices inversibles (multiplicación de matrices), por ejemplo el grupo SO(3) de todas las rotaciones en el espacio de 3 dimensiones. Vea abajo para una lista más completa de ejemplos.

Contenido

1 Tipos de grupos de Lie
2 Homomorfismos e isomorfismos
3 El álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie
4 Lista de algunos grupos de Lie reales y de sus álgebras de Lie
5 Lista de algunos grupos de Lie complejos y de sus álgebras de Lie
6 Véase también

Tipos de grupos de Lie

Se clasifican los grupos de Lie con respecto a sus propiedades algebraicas (simple, semisimple, resoluble, nilpotente, abeliano), su conexidad (conexo o no conexo) y su compacidad.

Homomorfismos e isomorfismos

Si G y H son grupos de Lie (reales o complejos ambos), entonces un homomorfismo de grupo-de-Lie- f: G → H es un homomorfismo de grupo que es también una función analítica. (Se puede demostrar que es equivalente a requerir solamente que sea función continua.) La composición de dos tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie (reales o complejos), junto con estos morfismos, forma una categoría. Dos grupos de Lie se dicen isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos cuyo inverso es también un homomorfismo. Los grupos de Lie isomorfos no necesitan, para cualquier propósito práctico, ser distinguidos; se diferencian solamente en la notación de sus elementos.

El álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie

A cada grupo de Lie, podemos asociar un álgebra de Lie que captura totalmente la estructura local del grupo. Esto se hace como sigue. Un campo vectorial en un grupo de Lie G se dice invariante por la izquierda si conmuta con la traslación izquierda, que significa lo siguiente. Defina L_g[f](x) = f(gx) para cualquier función analítica f: G → F y todo g, x en G (aquí F es el cuerpo R o C). entonces el campo vectorial X es invariante por la izquierda si X L_g = L_g X para todo g en G.

El conjunto de todos los campos vectoriales en una variedad analítica es un álgebra de Lie sobre F. En un grupo de Lie, los campos vectoriales invariantes por la izquierda forman una subalgebra, el álgebra de Lie asociada a G, denotado generalmente por una g gótica ( $\mathfrak{g}$ ). Esta álgebra de Lie g es finito-dimensional (tiene la misma dimensión que la variedad G) lo que la hace susceptible a las tentativas de clasificación. Clasificando g, uno puede también conseguir un acercamiento al grupo de Lie G. La teoría de representación de los grupos simples de Lie son el mejor y más importante ejemplo.

Cada elemento v del espacio tangente T_e en el elemento identidad e de G determina un campo vectorial izquierdo-invariante único cuyo valor en el elemento x de G es denotado xv; el espacio vectorial subyacente a g se puede por lo tanto identificar con T_e. la estructura del álgebra de Lie en T_e puede también ser descrita como sigue: la operación del conmutador

(x, y) - > xyx^-1y^-1

en G x G envía (e, e) a e, así que su derivada da una operación bilineal en T_e. resulta que esta operación bilineal satisface los axiomas de un corchete de Lie, y es igual al que es definido a través de campos vectoriales invariantes por la izquierda.

Cada vector v en g determina una función c: R → G cuya derivada en todo punto viene dado por el campo vectorial invariante por la izquierda correspondiente

c(t) = c(t)v

y que tiene la propiedad

c(s + t) = c(s) c(t)

para todo s y t. La operación en el lado derecho es la multiplicación de grupo en G. La semejanza formal de esta fórmula con la que es válida para la función exponencial justifica la definición

exp(v) = c(1)

esto se llama la función exponencial, y mapea el álgebra de Lie g en el grupo de Lie G. Proporciona un difeomorfismo entre una vecindad de 0 en g y una vecindad de e en G. Esta función exponencial es una generalización de la función exponencial para los números reales (puesto que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con la multiplicación usual), para los números complejos (puesto que C es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos diferentes a cero con la multiplicación usual) y para las matrices (puesto que M(n, R) con el conmutador regular es el álgebra de Lie del grupo de Lie GL(n, R) de todas las matrices inversibles).

Porque la función exponencial es suryectiva en alguna vecindad N de e, es común llamar a los elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo G. De hecho, el subgrupo de G generado por N será el grupo entero G solamente cuando G sea conexo.

La función exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura de grupo local de cada grupo de Lie conexo, debido a la fórmula de Campbell-Hausdorff: existe una vecindad U del elemento cero de g, tal que para u, v en U se tiene

exp(u) exp(v) = exp(u + v+ 1/2 [u, v] + 1/12 [[u, v], v] - 1/12 [[u, v], u] -...)

donde los términos omitidos son conocidos e implican los corchetes de Lie de cuatro o más elementos. En caso de que u y v conmuten, esta fórmula se reduce a la ley exponencial familiar exp(v) exp(u) = exp(u + v).

Cada homomorfismo f: G → H de los grupos de Lie induce un homomorfismo entre las álgebra de Lie correspondientes g y h. la asociación G|- > g es un funtor. La estructura global de un grupo de Lie no está totalmente determinada, en general, por su álgebra de Lie; vea la tabla abajo para los ejemplos de grupos de Lie diversos que comparten la misma álgebra de Lie. Podemos decir sin embargo que un grupo de Lie conexo es simple, semisimple, resoluble, nilpotente, o abeliano si y solamente si su álgebra de Lie tiene la propiedad correspondiente.

Si requerimos que el grupo de Lie sea simplemente conexo, entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: para cada álgebra de Lie g finito dimensional sobre F hay un único (módulo un isomorfismo) grupo de Lie G simplemente conexo con g como álgebra de Lie. Por otra parte cada homomorfismo entre las álgebras de Lie se eleva a un homomorfismo único entre los correspondientes grupos de Lie simplemente conexos.

Lista de algunos grupos de Lie reales y de sus álgebras de Lie

grupo de Lie	descripción	Comentarios	álgebra de Lie	descripción	dim/R
$\R^n$	espacio euclídeo con adición	abeliano, simplemente conexo, no compacto	$\R^n$	el corchete de Lie es cero	n
$\R^\times$	números reales no nulos con la multiplicación	abeliano, no conexo, no compacto	$\R$	el corchete de Lie es cero	1
$\R^+$	números reales positivos con la multiplicación	abeliano, simplemente conexo, no compacto	$\R$	el corchete de Lie es cero	1
$\mbox{S}^1 = \R/\mathbb{Z}$	números complejos de valor absoluto 1 con la multiplicación	abeliano, conexo, no simplemente conexo, compacto	$\R$	el corchete de Lie es cero	1
$\mathbb{H}^\times$	cuaterniones no nulos con la multiplicación	conexo, simplemente conexo, no compacto	$\mathbb{H}$	cuaterniones, con el corchete de Lie dado por el conmutador	4
$\mbox{S}^3\,$	cuaterniones de módulo 1 con la multiplicación, una 3-esfera	simplemente conexo, compacto, simple y semi-simple, isomorfo a $SU(2)\;$ y a $Spin(3)$	$\R^3$	3-vectores reales, con el corchete de Lie el producto vectorial; isomorfo a los cuaterniones con parte real cero, con el corchete de Lie dado por el conmutador también isomorfo a $\mathfrak{su}(2)$ y a $\mathfrak{so}(3)$	3
GL(n, R)	grupo general lineal: matrices reales n-por-n invertibles	no conexo, no compacto	$M(n, \R)$	matrices reales n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador	$n 2$
GL⁺(n, R)	matrices reales n-por-n con determinante positivo	conexo, no compacto	M(n, R)	matrices reales n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador	$n 2$
SL(n, R)	grupo especial lineal: matrices reales n-por-n con determinante 1	conexo, no compacto y simple si n>1	$\mathfrak{sl}(n,\R)$	matrices reales n-por-n, con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n²-1
O(n, R)	grupo ortogonal: matrices reales n-por-n ortogonales	no conexo, compacto	$\mathfrak{so}(3,\R)$	matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador; $\mathfrak{so}(3,\R)$ es isomorfo a $\mathfrak{su}(2,\R)$ y a $\R^3$ con el producto vectorial	n(n-1)/2
SO(n, R)	grupo especial ortogonal: matrices reales n-por-n ortogonales con determinante 1	conexo, compacto, no simplemente conexo si n>1, semisimple, si n=3 o n ≥5 simple	$\mathfrak{so}(n,\R)$	matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(n-1)/2
Spin(n)	grupo de espinores	simplemente conexo, compacto, semisimple, si n=3 o n ≥5 simple	so(n, R)	matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(n-1)/2
Sp(2n, R)	grupo simplécticoreal: matrices simplécticas reales	no compacto, simple y semisimple	sp(2n, R)	matrices reales que satisfacen JA + A^TJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar	n(2n + 1)
Sp(n)	grupo simpléctico: matrices unitarias n-por-n cuaterniónicas	compacto, simplemente conexo, simple y semisimple si n>0	sp(n)	matrices cuaterniónicas cuadradas A satisfaciendo A = −A^*, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(2n + 1)
U(n)	grupo unitario: matrices complejas n-por-n unitarias	isomorfo a S¹ para n=1, no simplemente conexo para n>0, compacto. Nota: este no es un grupo/álgebra de Lie complejo	u(n)	matrices complejas n-por-n, que cumplen A = -A^*, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(n-1)/2	n²
SU(n)	grupo especial unitario: matrices complejas n-por-n unitarias con determinante 1	simplemente conexo, compacto y si n ≥2, simple y semisimple. Nota: este no es un grupo/álgebra de Lie complejo	su(n)	matrices complejas $n\times n$ , que cumplen A = -A^* con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n²-1

Lista de algunos grupos de Lie complejos y de sus álgebras de Lie

grupo de Lie	descripción	Comentarios	álgebra de Lie	descripción	dim/C
Cⁿ	espacio euclídeo con adición	abeliano, simplemente conexo, no compacto	Cⁿ	el corchete de Lie es cero	n
C^×	números complejos no nulos con la multiplicación	abeliano, conexo, no simplemente conexo, no compacto	C	el corchete de Lie es cero	1
GL(n, C)	grupo general lineal: matrices complejas n-por-n inversibles	simplemente conexo, no compacto	M(n, C)	matrices complejas n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n²
SL(n, C)	grupo especial lineal complejo: matrices complejas n-por-n con determinante 1	simple y semisimple, simplemente conexo si n>1, no compacto	sl(n, C)	matrices complejas n-por-n, con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n²-1
O(n, C)	grupo ortogonal: matrices complejas n-por-n ortogonales	no conexo n>1, compacto	so(n, C)	matrices omplejas n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(n-1)/2
SO(n, C)	grupo especial ortogonal: matrices complejas n-por-n ortogonales con determinante 1	conexo, no compacto, no simplemente conexo si n>1, si n=3 o n ≥5 simple y semisimple	so(n, C)	matrices complejas n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador	n(n-1)/2
Sp(2n, C)	grupo simpléctico: matrices simplécticas complejas	no compacto, simple y semisimple	sp(2n, C)	matrices complejas que satisfacen JA + A^TJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar	n(2n + 1)

Véase también

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Simetría
Variedad

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