Teorema de los ceros de Hilbert

Teorema de los ceros de Hilbert

El Hilberts Nullstellensatz (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros") es un teorema en Geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert.

Sea \scriptstyle \mathbb{K} un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos), considera el anillo de polinomios \scriptstyle \mathbb{K}[X_1,X_2,\dots,X_n] y sea \scriptstyle I un ideal en este anillo. La variedad afín \scriptstyle V(I) definida por este ideal consiste de todas las n-tuplas \scriptstyle \mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) en \scriptstyle \mathbb{K}^n tal que \scriptstyle f(\bold{x}) = 0 para todo \scriptstyle f en \scriptstyle I. El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si \scriptstyle p es un polinomio en \scriptstyle \mathbb{K}[X_1,X_2,\dots,X_n] que se anula en la variedad \scriptstyle V(I), i.e. \scriptstyle p(\bold{x})=0 para todo x en \scriptstyle V(I), entonces existe un número natural r tal que pr está en I.

Un corolario inmediato es la "Nullstellensatz débil": si I es un ideal propio en K[X1,X2,... , Xn], entonces V(I) no puede ser vacío, i.e. existe un cero común para todos los polinomios del ideal. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable en esta forma "débil". Notar que el asumir que K sea algebraicamente cerrado es esencial aquí: el ideal propio (X² + 1) en R[X] no tiene un cero común.

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

I(V(J)) = √J    para todo ideal J

Aquí √J denota el radical de J e I(U) denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto U. De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en Kn y los ideales radicales de K[X1,X2,... , Xn].


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • Hilbert Nullstellensatz — El Hilbert Nullstellensatz (en alemán: teorema de los ceros ) es un teorema en Geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert.… …   Enciclopedia Universal

  • Hipótesis de Riemann — Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011 …   Wikipedia Español

  • Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) …   Wikipedia Español

  • Teoría analítica de números — En el ámbito de las matemáticas, la teoría analítica de números es una rama de la teoría de números que utiliza métodos del análisis matemático para resolver problemas sobre los números enteros.[1] A menudo se dice que comenzó con la introducción …   Wikipedia Español

  • Geometría algebraica — La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra conmutativa, con la geometría. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los… …   Wikipedia Español

  • 0,9 periódico — En matemáticas, 0,999... es el número decimal periódico que se demuestra denota[1] al número 1. En otras palabras, los símbolos 0,999... y 1 son dos representaciones distintas del mismo número real. Las demostraciones matemáticas de esta igualdad …   Wikipedia Español

  • Teoría de números — Nuestra teoría de números se deriva de la antigua aritmética griega de Diofanto.[1] Portada de la aritmética de Diofanto traducida al latín por Bachet de Méziriac, edición con comentarios de Pierre de Fermat publicada en 1670 …   Wikipedia Español

  • Número complejo — Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”