Algoritmo de avance-retroceso

Algoritmo de avance-retroceso: Contenido

1 Introducción

2 Procedimiento hacia adelante

2.1 Cálculo de α_t(i)

2.2 Ejemplo de cálculo de α₄(3)

3 Cálculo hacia atrás

3.1 Cálculo de β_t(i)

3.2 Ejemplo de cálculo de β₂(3)

4 Complejidad computacional

5 Véase también

Introducción

Uno de los problemas básicos de los Modelos Ocultos de Márkov es el cálculo de la probabilidad de una secuencia de observables $O=(o_{1},o_{2},\ldots,o_{T})$ dado un modelo $μ = (π, A, B)$ . El objetivo es por tanto calcular eficientemente $P (O | μ)$ .

Probabilidad de una secuencia $S$ de estados

Supongamos una secuencia de estado $S = (q_1,q_2, \dots, q_T)$ . La probabildad de esta secuencia es:

$P(S|\mu) = \pi_{q_1} a_{q_{1}q_{2}} a_{q_{2}q_{3}} \dots a_{q_{T-1}q_{T}}$

Probabilidad de una secuencia de observables $O$ dada una secuencia de estados $S$

La probabilidad de observar $O=(o_1,o_2,\dots,o_T)$ cuando se da precisamente esta secuencia de estados $S$ es:

$P(O|S,\mu) = \displaystyle\prod_{t=1}^{T}{P(o_t|q_t,\mu)}$

Cada $P (o t | q t,μ)$ corresponde con el valor de $b_{q_t}(o_t)$

Probabilidad de una secuencia de observables $O$ dado un modelo $μ$

Por tanto, para obtener la probabilidad de una secuencia $O$ de observables dado un modelo $μ$ , deberíamos calcular la probabilidad de $O$ para cada una de las secuencias posibles $S$ .

$P(O|\mu) = \displaystyle\sum^{S}{P(S|\mu)P(O|S,\mu)}$

El cálculo de $P (O | μ)$ tal y como se muestra es impracticable; sólo para $10$ estados y $10$ observaciones sería necesario realizar del orden de $1011$ operaciones. Para reducir esta complejidad se emplean estrategias de programación dinámica como los algoritmos forward y backward.

Se recomienda revisar la formalización habitual de un Modelo Oculto de Márkov para comprender cada uno de los elementos en la formulación de estos dos procedimientos.

Procedimiento hacia adelante

Cálculo de $α t (i)$

Consideramos la variable $α t (i)$ como:

$\alpha_{t}(i)=P(o_{1},o_{2},\ldots,o_{t},q_{t}=i|\mu)$

Dado el modelo $μ$ , $α t (i)$ es la probabilidad de observar $o_{1},o_{2},\ldots,o_{t}$ y estar en el instante de tiempo $t$ en el estado $i$ .

Cálculo hacia adelante de la probabilidad de una secuencia de observaciones.

Inicialización

$α 1 (i) = π i b i (o 1),$

$1 \leq i \leq N$

Recurrencia

$\alpha_{t+1}(j)=\biggl[\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\alpha_{t}(i)a_{ij}}\biggr]b_{j}(o_{t+1})$

$t=1,2,\ldots,T-1$ , $1 \leq j \leq N$

Terminación

$P(O|\mu)=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\alpha_{T}(i)}$

Ejemplo de cálculo de $α 4 (3)$

El esquema muestra los estados y probabilidades necesarias para el cálculo de $α 4 (3)$ :

$\alpha_{4}(3)=\biggl[\displaystyle\sum_{i=1}^{5}{\alpha_{3}(i)a_{i3}}\biggr]b_{3}(o_{4})$

Cálculo hacia atrás

Cálculo de $β t (i)$

Consideramos la variable $β t (i)$ .

$\beta_{t}(i)=P(o_{t+1}o_{t+2},\ldots,o_{T}|q_{t}=i,\mu)$

Dado el modelo $μ$ , $β t (i)$ es la probabilidad de la secuencia de observación desde el instante de tiempo $t + 1$ hasta el final, cuando el estado en el instante de tiempo $t$ es $i$ .

Inicialización

$β T (i) = 1$ ,

$1 \leq i \leq N$

Recurrencia

$\beta_{t}(i)=\displaystyle\sum_{j=1}^{N}{a_{ij}\beta_{t+1}(j)b_{j}(o_{t+1})}$ ,

$t=T-1,T-2,\ldots,1$ , $1 \leq i \leq N$

Terminación

$P(O|\mu)=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\beta_{1}(i)\pi_{i}b_{i}(o_{1})}$

Ejemplo de cálculo de $β 2 (3)$

El esquema muestra los estados y probabilidades necesarios para el cálculo de $β 2 (3)$ para un modelo de 5 estados y una secuencia de observaciones de longitud 5.

$\beta_{2}(3)=\displaystyle\sum_{j=1}^{5}{a_{3j}\beta_{3}(j)b_{j}(o_{3})},$

Complejidad computacional

Tanto el procedimiento hacia adelante como el algoritmo backward, requieren del orden de $N 2 T$ operaciones; muy inferior a $2 T N T - 1$ operaciones ( $N$ es el número de estados y $T$ es la longitud de la secuencia de observaciones) que son necesarias si se calcula $P (O, S | μ)$ para todas las posibles secuencias $S$ del modelo.

El cálculo de los $β t (i)$ servirán - junto a los $α t (i)$ - para contestar las otras dos preguntas fundamentales de los Modelos Ocultos de Márkov:

¿Cuál es la secuencia óptima $S$ de estados dado una secuencia de observaciones $O$ ? (algoritmo de Viterbi)

Dada una secuencia de observaciones $O=(o_{1},o_{2},\ldots,o_{T})$ , ¿cómo podemos estimar los parámetros del modelo $μ = (π, A, B)$ para maximizar $P (O | μ)$ . En este caso el objetivo es encontrar el modelo que mejor explica la secuencia observada (algoritmo de Baum-Welch).

Véase también

Modelos Ocultos de Márkov

Algoritmo de Viterbi

Algoritmo de Baum-Welch

Categorías:
Algoritmos
Bioinformática

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Procedimiento hacia adelante

Cálculo de $α t (i)$

Ejemplo de cálculo de $α 4 (3)$

Cálculo hacia atrás

Cálculo de $β t (i)$

Ejemplo de cálculo de $β 2 (3)$

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