Leyes de De Morgan

Leyes de De Morgan

Las leyes de Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica ,y fue creada por Augustus De Morgan (Madurai,1806-Londres,1871).

Las leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan declaran que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente; y que inversamente, el producto de n variables globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.


\lnot(A \cup B) \Leftrightarrow (\lnot A) \cap (\lnot B)

\lnot(A \cap B) \Leftrightarrow (\lnot A) \cup (\lnot B)

Demostración formal

\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} si y solo si \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B} y \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}.

para cualquier x: x \notin A ó x \notin B

x \in \overline A ó x \in \overline B

x \in \overline A \cup \overline B

Por lo tanto \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}

\supseteq inclusión:

x \in \overline A \cup \overline B

x \in \overline A ó x \in \overline B

Con proposiciones

La prueba utiliza la asociatividad y la distributividad de las leyes \cap y \cup.

  • Verdad
  • Si verdad por n

\lnot(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \cap A_{n+1})

\Leftrightarrow \lnot ( (A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) \cap A_{n+1})

\Leftrightarrow (\lnot (A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)) \cup (\lnot A_{n+1})

\Leftrightarrow (\lnot A_1) \cup (\lnot A_2) \cup ... \cup (\lnot A_n) \cup (\lnot A_{n+1})


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