Ley de desplazamiento de Wien

Ley de desplazamiento de Wien
Ley de Wien.

La ley de desplazamiento de Wien es una ley de la física. Especifica que hay una relación inversa entre la longitud de onda en la que se produce el pico de emisión de un cuerpo negro y su temperatura.

\lambda_\mbox{max} = \frac{0,0028976\ \mbox{m} \cdot \mbox{K}}{T}

donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y λmax es la longitud de onda del pico de emisión en metros.

Las consecuencias de la ley de Wien es que cuanta mayor sea la temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite. Por ejemplo, la temperatura de la fotosfera solar es de 5780 K y el pico de emisión se produce a 475 nm = 4,75 · 10-7 m. Como 1 angstrom 1 Å= 10-10 m = 10-4 micras resulta que el máximo ocurre a 4750 Å. Como el rango visible se extiende desde 4000 Å hasta 7400 Å, esta longitud de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde. Sin embargo, debido a la Dispersión de Rayleigh de la luz azul por la atmósfera, la componente azul se separa distribuyéndose por la bóveda celeste y el Sol aparece amarillento.

Deducción de la Ley de Wien

La constante c de Wien esta dada en Kelvin x metro.

Esta ley fue formulada empíricamente por Wilhelm Wien. Sin embargo, hoy se deduce de la ley de Planck para la radiación de un cuerpo negro de la siguiente manera:

E(\lambda,T)={C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}={C_1 \cdot \lambda^{-5}\over (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

C_1=2 \pi h c^2=3,742 \cdot 10^{-16}\; {\rm W \cdot m^2}
C_2={h c \over k}=1,4385 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m} \cdot \mbox{K} = 1,4385 \cdot 10^4 \ \mu \mbox{m} \cdot \mbox{K}

Para hallar el máximo la derivada de la función con respecto a λ tiene que ser cero.

{\partial (E(\lambda,T)) \over \partial \lambda}=0

Basta con utilizar la regla de derivación del cociente y como se tiene que igualar a cero, el numerador de la derivada será nulo es decir:

\frac {c_2}{\lambda \cdot T}=5 \cdot (1-e^{-C_2 \over \lambda \cdot T})

Si definimos

x\equiv{c_2\over\lambda T }

entonces

{x\over 1-e^{-x}}-5=0

Esta ecuación no se puede resolver mediante funciones elementales. Como una solución exacta no es importante podemos optar por soluciones aproximadas. Se puede hallar fácilmente un valor aproximado para x:

Si x es grande resulta que aproximadamente e^{-x}=0 \, así que x esta cerca de 5. Así que aproximadamente x=5(1-e^{-5})=4,9663 \,.

Utilizando el método de Newton o de la tangente:

x = 4,965114231744276\ldots

De la definición de x resulta que:

\lambda_{\max} \cdot T=\frac{c_2}{x}=\frac{1,4385 \cdot 10^4}{4,965114231744276}=2897,6 \mu m K

Así que la constante de Wien es 2897,6 \mu m \cdot K por lo que:

\lambda_{\max} \cdot T = 2897,6 \mu m \cdot K

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