Métrica de Reissner-Nordström

Métrica de Reissner-Nordström

La métrica de Reissner-Nordström es una solución exacta con simetría esférica de las ecuaciones de Einstein que describe el campo gravitatorio y electromagnético de un cuerpo masivo con carga neta diferente de cero. Puede considerarse como la generalización relativista de la métrica de Schwarzschild.

Contenido

Forma de la métrica

En coordenadas casi-esféricas o coordenadas de Schwarzschild la métrica tiene la forma:

(1) g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}+\frac{Ge^2}{c^4r^2}\right) dt \otimes dt + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}+\frac{Ge^2}{c^4 r^2}\right)^{-1}dr\otimes dr + r^2 \left(d\theta\otimes d\theta + \sin^2\theta\ d\phi\otimes d\phi \right)

Donde se han usado para la carga eléctrica unidades gausianas, y donde hemos restaurado la velocidad de la luz c y la constante de la gravitación G. Usualmente la métrica se escribe usando unidades naturales (c = 1, G = 1).

Propiedades del espacio-tiempo de Reissner-Nordström

Contenido material

El espacio-tiempo de Reissner-Nordström es en muchos aspectos similar al espacio-tiempo dado por la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, a diferencia de esa otra última solución el tensor de energía-impulso asociado a dicha métrica no se anula idénticamente, rebelando que dicho espacio-tiempo está "inundado" por un campo electromagnético estático con simetría esférica.

Geodésicas

Si \gamma(\tau)= (t(\tau), r(\tau), \theta(\tau), \phi(\tau))\; es la expresión de una curva en términos de un parámetro afin (como por ejemplo el tiempo propio), entonces esa curva será geodésica si se cumple que:

\begin{cases} \ddot{t} + \frac{2\mu(r-\epsilon)}{r[r^2-\mu(2r-\epsilon)]}\dot{t}\dot{r} = 0 \\ \ddot{r} + c^2\frac{\mu(r-\epsilon)[r^2-\mu(2r-\epsilon)]}{r^5}\dot{t}^2 - \frac{\mu(r-\epsilon)}{r(r^2-\mu(2r -\epsilon)}\dot{r}^2 - \frac{r^2-\mu(2r -\epsilon)}{r} \left[ \dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta \right]= 0 \\ \ddot{\theta} + \frac{2\dot{r}}{r}\dot{\theta} -\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\ \ddot{\phi} + \frac{2\dot{r}}{r}\dot{\phi} + \frac{2}{\tan \theta}\dot{\phi}\dot{\theta}= 0 \end{cases}

Donde:

\mu:=\frac{GM}{c^2}, \qquad \epsilon:=\frac{e^2}{Mc^2}

Grupo de isometría

La solución de Reissner-Nordström, presenta las mismas simetrías que la solución de Schwarzshild, es decir, el espacio tiempo es invariante respecto a traslaciones temporales t → t + h y además presenta simetría esférica. Por tanto su grupo de isometría maximal resulta ser isomorfo a \R \times SO(3).

Regiones del espacio-tiempo de Reissner-Nordström

El número de regiones y la tipología del espacio-tiempo descrito por la métrica de Reissner-Nordström depende del cociente entre la masa y la carga eléctrica.

Caso 1

El primer caso viene caracterizado por la situación de un cuerpo de cierta masa con una carga eléctrica neta muy pequeña en relación a su masa. Concretamente este caso se presenta cuando:

M > \frac{|e|}{2c\sqrt{\pi\epsilon_0}}

En este caso la solución maximal con simetría esférica consta de tres tipos de regiones:

  • Región I o región exterior de la solución asintóticamente plana, caracterizada por R > R+;, que a grandes distancias se parece al campo gravitatorio creado por un astro de simetría esférica con carga eléctrica.
  • Región II o región intermedia la solución de Reissner-Nordström, caracterizada por R+ > R > R-.
  • Región III o región de agujero negro de la solución de Reissner-Nordström, caracterizada por, R- > R, que en su interior alberga una singularidad espaciotemporal.

Caso 2

Caso 3


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