Test de Lucas-Lehmer

Test de Lucas-Lehmer

En matemáticas, la prueba de Lucas-Lehmer es una prueba que sirve para determinar si un determinado número de Mersenne Mp es primo. El test fue desarrollado por Edouard Lucas en 1878 y subsecuentemente mejorado por Derrick Henry Lehmer en la década de 1930.

Contenido

El test

La prueba de Lucas-Lehmer consiste en lo siguiente: sea Mp = 2p− 1 el número de Mersenne a testear con p primo. Defínase la sucesión {si} para todo i ≥ 0 según:

s_i= \left\{ \begin{matrix} 4,\qquad\ \,&&\mbox{si }i=0;\ \ \, \\ s_{i-1}^2-2&&\mbox{en caso contrario.} \end{matrix} \right.

Los primeros términos de esta sucesión son 4, 14, 194, 37634, ... (sucesión A003010 en OEIS). Entonces, Mp es primo si y sólo si

s_{p-2}\equiv0\pmod{M_p};

En otro caso, Mp es compuesto. El número sp − 2 mod Mp se llama residuo Lucas–Lehmer de p.

Con una implementación FFT, el test de Lucas–Lehmer tiene una complejidad de O(n2 log n), donde n es la longitud del número.

Véase también

Referencias

  • Richard Crandall y Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective (1era edición edición). Springer. ISBN 0-387-94777-9.  Section 4.2.1: The Lucas–Lehmer test, pp.167–170.

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