Número primo de Mersenne

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. M_n = 2ⁿ − 1.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, M_n = 2ⁿ − 1, con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que M_n lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M₆₇ y M₂₅₇, que son compuestos, y omitió M₆₁, M₈₉, y M₁₀₇, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se completó más de dos siglos después.

Actualmente (abril de 2011), sólo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M_43.112.609 = 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Lista de los números primos de Mersenne conocidos

Gráfico que representa el número de cifras de cada uno de los primos de Mersenne conocidos. Nótese que la escala vertical es logarítmica.

Gráfico del número de dígitos del primo de Mersenne más grande que se conocía cada año (era electrónica). La escala vertical es logarítmica.

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:

*No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 39 (M_13.466.917) y el 47 (M_43,112,609) por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30º y el 31º.

Propiedades

Demostración
Si n es un número natural, por el teorema binomial se tiene:

,

Tomando c = 2, d = 1 y n = ab (a, b > 1), se tiene:

2^a − 1 es mayor que 1 porque se ha procurado que a es estrictamente mayor que 1, y la suma también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de M_n, así que M_n es compuesto.

Observación: Por contraposición, si M_n es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne M_n, ya que sólo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

• Ejemplo I: 2⁵ − 1 = 31 es primo, y 31 es igual a 1 más un múltiplo de 2·5.
• Ejemplo II: , siendo:

23 = 1 + 2 · 11

89 = 1 + 8 · 11

23 · 89 = 1 + 186 · 11

Demostración

Si q divide 2p - 1, entonces 2p ≡ 1 (mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat, 2(q − 1) ≡ 1 (mod q). Supongamos que existe un p que no divida q − 1. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que (q − 1)(p − 1) ≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x ≡ (q − 1)(p − 2) tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como 2(q − 1) ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta 2(q − 1)x ≡ 1, y como 2p ≡ 1 (mod q), al elevar de nuevo ambos lados de la congruencia a la potencia k resulta 2kp ≡ 1. Por tanto, 2(q − 1)x ÷ 2kp = 2(q − 1)x − kp ≡ 1 (mod q). Pero por definición (q − 1)x − kp = 1, lo que implica que 21 ≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Demostración

2^{p + 1} = 2(mod q), así que 2^{(p + 1) / 2} es una raíz cuadrada de 2 módulo q.
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con .

Preguntas abiertas

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M₂₅₇ y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge and Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

1. p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 para algún número natural k.
2. 2^p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
3. (2^p + 1) / 3 es primo (un número primo de Wagstaff).

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, sólo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Conjetura de Lenstra–Pomerance–Wagstaff

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no sólo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por

,

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y

Relación con otras categorías de números

Números perfectos

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne se define como:

donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.

Véase también

• Constante de Erdős–Borwein
• Número perfecto
• Número primo de Fermat
• Número primo de Wagstaff
• Número primo de Wieferich
• Repunit
• Test de Lucas-Lehmer

Referencias

Enlaces externos

• Sección dedicada a los números primos de Mersenne en The Prime Pages, en inglés
• GIMPS: proyecto distribuido de búsqueda de números primos de Mersenne, en inglés.
• Determinación geométrica de los números primos y perfectos