La prueba del nueve es un artificio matemático utilizado para verificar, de una forma sencilla, si una operación de multiplicación o división, realizada a mano, ha dado un resultado erroneo.

Mediante esta prueba se puede comprobar si la operación tiene algún error o no. Si el resultado de la prueba da "erróneo" se puede asegurar que la operación no es correcta, sin embargo, si el resultado de la prueba da "correcto" esto no implica necesariamente que la operación este bien.

Esta prueba fue muy popular hasta mediados de la década de 1970, cuando las calculadoras portátiles se hicieron usuales. Hasta esta fecha, la única forma de verificar la bondad de una operación realizada, era mediante este tipo de artificios matemáticos o mediante la repetición de la operación por otra persona y el cotejo de los resultados obtenidos.

Contenido 1 Definición 2 Base de la prueba del nueve 3 Prueba del nueve en la multiplicación 4 Prueba del nueve en la División 5 Historia 6 Referencias 7 Referencias externas

Definición

Cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras.^[1]

Base de la prueba del nueve

El éxito de este artificio para saber si una operación es o no correcta se basa en la congruencia entre números y en su facilidad de cálculo.

Se basa en el hecho de que para cualquier números a y b, por muy grande que estos sean

a * b = c ⇒ (a mod 9) * (b mod 9) = (c mod 9).

Esto es, si el producto de dos números dados es igual a un tercero, esto implica que el producto del resto de dividir cada uno de esos números entre 9 es igual al resto del tercer número dividido entre nueve.

Ejemplo:

a) 12.587.626 * 9.857.231 = 124.079.137.223.606

Si dividimos cada uno de los números entre 9 y utilizamos el resto de las divisiones tenemos:

b) 1 * 8 = 8

A esto se le une la facilidad para calcular el resto de dividir cualquier número entre nueve, ya que:

El resto de dividir un número entre 9 es igual que el resto de dividir la suma de sus cifras entre 9.

Ejemplos:

• (12.587.626 mod 9) = (1+2+5+8+7+6+2+6) mod 9 = 37 mod 9 = (3+7) mod 9 = 10 mod 9 = 1
• (9.857.231 mod 9) = (9+8+5+7+2+3+1) mod 9 = 35 mod 9 = (3+5) mod 9 = 8 mod 9 = 8
• (124.079.137.223.606 mod 9) = (1+2+4+0+7+9+1+3+7+2+2+3+6+0+6) mod 9 = 53 mod 9 = (5+3) mod 9 = 8 mod 9 = 8

O de una forma mas simple, "eliminando los nueves":

• (12.587.626 mod 9)
• 1 + 2 = 3;
• 3 +5 = 8;
• 8 + 8 = 16; Eliminando los nueves (16 mod 9) = 7;
• 7 + 7 = 14; Eliminando los nueves (14 mod 9) = 5;
• 5 + 6 = 11; Eliminando los nueves (11 mod 9) = 2;
• 2 + 2 = 4;
• 4 + 6 = 10; Eliminando los nueves (10 mod 9) = 1;
• (12.587.626 mod 9) = 1;

Prueba del nueve en la multiplicación

Para comprobar si el resultado de una multiplicación (A*B*C=D) es erroneo:

• 1.- Se calcula el resto de dividir el resultado obtenido entre 9. d = (D mod 9).
• 2.- Se calcula el resto de los multiplicandos dividiendoles entre 9. a = (A mod 9); b = (B mod 9); c = (C mod 9).
• 3.- Se multiplican estos restos y se obtiene su resto al dividirlo entre 9. a*b*c = N; n = (N mod 9).
• 4.- Se comprueba si los dos valores obtenidos son iguales. d = n.

Si d distinto que n ⇒ Sabemos seguro que la multiplicación no es correcta (A*B*C distinto D).

Si d igual que n. Es probable, aunque no seguro, que la multiplicación sea correcta.

Prueba del nueve en la División

Para comprobar si el resultado de una división entera (A/B=C y con resto D) es erróneo A / B = C con resto D ⇒ A = B*C+D

• 1.- Se calcula el resto de dividir el cada uno de los números intervinientes entre 9.

a = (A mod 9).
b = (B mod 9).
c = (C mod 9).
d = (D mod 9).

• 3.- Se multiplican los restos (de dividir entre 9) del denominador por el del cociente. b*c
• 4.- Se le suma al resultado anterior el resto (de dividir entre 9) del resto de la división. E=b*c + d
• 5.- Se obtiene el resto de dividir entre 9 este resultado obtenido e = (E mod 9).
• 6.- Se comprueba si el resto obtenido es igual al resto del numerador e=a.

Si e distinto que a ⇒ Sabemos seguro que la división no es correcta (A distinto de B*C+D).

Si e igual que a. Es probable, aunque no seguro, que la división sea correcta.

Historia

La prueba del nueve fue descubierta por el obispo Hippolytos en el siglo tercero y fue empleada por los matemáticos indios del siglo XII.^[2]

En su libro Synergetics, R. Buckminster Fuller afirma haber usado la prueba del nueve "antes de la 1ª Guerra Mundial".^[3] Fuller explica como realizar la prueba del nueve y hace otras afirmaciones sobre los resultados, sin embargo es incapaz de captar los falsos positivos de esta prueba.

Referencias

1. ↑ Según el adelanto de la 23.a edición del DRAE donde aparecerá, por primera vez, su significado matemático. Prueba
2. ↑ Cajori, Florian (1991, 5e) A History of Mathematics, AMS. ISBN . p.91
3. ↑ Fuller, R. Buckminster: Synergetics, Explorations in the Geometry of Thinking. New York: Macmillan Publishing Company. ISBN p.765.

Referencias externas

• De la Prueba del 9 Carlos Fernández Martínez, profesor de matemáticas

• La prueba del Nueve Pedro Rupin Gutiérrez, Licenciado en Matemáticas

• ALGO DE MATEMÁTICAS

• El paraíso de las Matemáticas