Serie divergente

En matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge.

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie armónica

La divergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme.

A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

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Teoremas sobre métodos de suma de series divergentes

Propiedades de los métodos de sumación

Si A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil.

1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x.
2. Linearidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) y A(ks) = k.A(s), para k un escalar (real o complejo)
3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s₀ y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo que comienza en s₁, entonces A(s) es definida si y solo si A(s′) es definida, y A(s) = A(s′ ).

La tercer condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumación de Borel, que no la satisfacen.

Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes si para toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente.

De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son ni lineales ni regulares, por ejemplo transformaciones de sucesiones no-lineales como las transformaciones de sucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.

Promedio de Nõrlund

Promedio abeliano

Sea λ_n es una sucesión estrictamente creciente que tiende hacia ∞, y λ₀ ≥ 0. Y sea a_n=s_n+1-s_n una serie infinita, cuya sucesión correspondiente es s. Y suponiendo que

converge para todos los números reales positivos x. Entonces el promedio abeliano A_λ se define como

Una serie de este tipo es llamada serie generalizada de Dirichlet; en el ámbito de la física, este método se lo conoce como regularización del heat-kernel.

Los promedios abelianos son regulares, lineales, y estables, pero no siempre resultan ser consistentes entre sí. Sin embargo, existen algunos casos especiales de promedios abelianos que son métodos de sumación muy importantes.

Sumación de Abel

Si λ_n = n, entonces se obtiene el método de Sumación de Abel. Donde

con z = exp(-x). Y por lo tanto el límite de f(x) cuando x tiende a 0 desde los reales positivos es el límite de la serie de potencias para f(z) cuando z tiende a 1 por abajo desde los reales positivos, y la suma de Abel A(s) se define como

La sumación de Abel en parte es interesante porque es consistente con la sumación de Cesàro aunque es más potente que esta; si C_k(s) = a para todo k positivo, entonces A(s) = a. Por lo tanto la suma de Abel es regular, lineal, estable, y consistente con la sumación de Cesàro.

Sumación de Lindelöf

Véase también

• 1 - 2 + 3 - 4 + . . .
• Test de divergencia

Referencias

• Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.