Serie armónica (matemática)

Serie armónica (matemática)
Para el concepto musical relacionado con éste, véase serie armónica (música).

En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdots

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Contenido

Propiedades

Divergencia de la serie armónica

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
= \quad\quad 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. De hecho, es la prueba que se suele enseñar a los estudiantes, ya que es bastante elemental.

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternada

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcial

Representación

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cuyo valor es log(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

\lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

  1. El único Hn que es entero es H1.
  2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.


Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

H_n = \int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x} \, dx

dada[1] por Leonhard Euler.

Y también

H_n = \Psi (n+1) + \gamma \,\!

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Conexión con la hipótesis de Riemann

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

\sigma(n)\le H_n + \log(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para todo }n\in\mathbb{N}

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[2]

Serie armónica generalizada

Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

p-series

La p-serie es (cualquiera de) las series

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Temas relacionados

Notas

  1. ↑ Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum
  2. ↑ (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

Referencias

  • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41
  • Many proofs of divergence of harmonic series : "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (en inglés)
  • An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.

Enlaces externos

  • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum E020 (en latín) [1]
  • Harmonic Series at mathworld.wolfram.com (en inglés) [2]
  • Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (en inglés) [3]
  • Prueba corta de la divergencia de la serie armónica[4][5]

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