Sistema formal

La noción de sistema formal se utiliza para proporcionar una definición rigurosa del concepto de demostración en lógica y en matemáticas. La noción de sistema formal corresponde a una formalización rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático.

En las ciencias formales de la lógica y las matemáticas, así como en otras disciplinas relacionadas, como son la informática, la teoría de la información, y la estadística, un sistema formal es una gramática formal usada para la modelización de diferentes propósitos. Llamamos formalización al acto de crear un sistema formal, con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal.

En matemáticas, las pruebas formales son el resultado de sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de deducción. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de pruebas formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido David Hilbert creó la disciplina denominada metamatemática dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar. Con otra denominación, el metalenguaje o lenguaje obtenido mediante la gramática formal se llama también, en ocasiones, lenguaje objeto.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.

El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas.

Problema de la decisión

El problema de la decisión consiste en saber si una cadena cualquiera es un teorema. El algoritmo que proporciona una respuesta a la pregunta de si la cadena es o no un teorema se denomina procedimiento de decisión. En alemán, Entscheidungsproblem.

Propiedades de los sistemas formales

• Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado no corresponde a una decisión verdadera.
• Completitud: El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse.
• Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.

La matemática como sistema formal

La matemática fue considerada por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. Pero en 1931 Kurt Gödel demostró que la coherencia y la completitud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomína el teorema de la incompletitud de Gödel. Por otra parte Alonzo Church demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía resulto demolida.

El sistema axiomático de Peano

El sistema de Peano es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen:

• P1 0 es un número.
• P2 El sucesor de un número es siempre un número.
• P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor.
• P4 0 no es el sucesor de número alguno.
• P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0' ), el sucesor del sucesor de cero( 0 ), y así hasta el infinito.

Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor:

(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'

Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:

(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

Véase también

• Lógica matemática
• Lenguaje formalizado
• Noción primitiva