Surface Bundle

Archivo:Fibrado1.PNG

Diagrama-esquema de un F-fibrado, E, sobre

S 1

Surface bundle es un fibrado por superficie, es decir la fibra es una 2-variedad y sobre alguna base -en símbolos:

$F\subset E\to B$

donde E el fibrado (o espacio total), F es la fibra (espacio fibra) y B la base del fibrado (espacio base del fibrado), siendo casos importantes:

1. Fibrar sobre el círculo $S 1$ y es por lo tanto un tipo de 3-variedad. Una castellanización de este nombre pueden ser: F-fibrado sobre B, o bien fibrado por superficies sobre B.
2. Fibrar sobre otra superficie. Es este caso reciben el nombre de surface bundle over a surface y son una clase de 4-variedades.

No son importante los fibrados-por-superficie que tengan una base que sea contraible desde el punto de vista homotópico, pues en este caso, el fibrado es trivial, es decir, homeomorfo a $F\times B$

Cuando la base es un círculo el espacio es un surface bundle over the circle. Estos fibrados están clasificados por clases de isotopía de auto-homeomorfismos; $F\stackrel{[f]}\to F$ .

Construcción

Sea F una superficie cerrada. Si tenemos el producto cartesiano $F\times I$ , entonces vamos a utilizar un homeomorfismo $\phi\colon F\to F$ para identificar las tapas $F\times \{0\}$ con $F\times \{1\}$ usando la fórmula

(x, 0)

\sim

(ϕ (x), 1)

así el nuevo espacio $E_{\phi}=\frac{F\times I}{\sim}$ es el F-fibrado sobre $S 1$ determinado por $ϕ$

Si $ϕ$ es el mapa identidad de F, el fibrado es $F\times S^1$ .

Cuando $ϕ$ no está en la clase de isotopía de la identidad el fibrado $E_{\phi}=F\times_{\phi}S^1$ se dice twisted surface bundle.

Para la 2-esfera hay dos $S^2\times S^1$ y $S^2\stackrel{\sim}\times S^1$ .

Se distingue entre fibrados que utilizan supericies cerradas (compactas y sin frontera) para obtener fibrados sin frontera. Además usando la clasificación de las superficies obtemos

$O_g\subset E\to B$
$N_k\subset E\to B$

sobre alguna base B de dimensión uno.

Como los fibrados sobre la recta numérica $\mathbb{R}^1$ (o intervalos conexos) son triviales (i.e. solo obtenemos $E=F\times\mathbb{R}^1$ ), es por eso que hay más riqueza al estudiar fibrados sobre el círculo, $S 1$ .

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