3-variedad

3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo \mathbb{R}^3.


Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a que categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias son menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.


Contenido

Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera S^3 \,. Otro más es el espacio proyectivo \mathbb{R}P^3. Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

S^2\times S^1
\mathbb{R}P^2\times S^1
T\times S^1
K\times S^1

O bien fibrados de la forma S^1\subset E\to \Sigma, donde Σ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma F\subset E\to S^1, siendo F una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

Ejemplos con frontera

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria D^3 \, o el toro sólido D^2\times S^1, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

I\subset E\to F (I-bundles)

donde I es un intervalo y F una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, K\stackrel{\sim}\times I^O, que es el I-bundle que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva (2,1)\, dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, \partial(K\stackrel{\sim}\times I^O), es un toro S^1\times S^1. Además K\stackrel{\sim}\times I^O corresponde a M\ddot{o}\stackrel{\sim}\times S^1.

Otro ejemplo es el producto cartesiano M\ddot{o}\times S^1 de la banda de Möbius con el círculo y el cual es T\stackrel{\sim}\times I y es diferente a K\stackrel{\sim}\times I^O.

También la frontera \partial(M\ddot{o}\times S^1) es (\partial M\ddot{o})\times S^1, lo cual, también es un toro S^1\times S^1.

Algunas clases de 3-variedades

  • Complementos de nudos y enlaces (knots and links)
  • Fibrado de Seifert clásico fibrado de Seifert. Fibrado de Scott
  • Espacios lentes (lens spaces)
  • Fibrados por superficie (Surface Bundles) sobre el círculo
  • Variedades de Haken
  • Graph manifolds
  • Esferas homológicas.

Resultados Fundamentales

  • Teorema de Descomposición Prima[1]
  • Teorema de Moise
  • Descomposición de JSJ[2]
  • Teoremas del Lazo y la Esfera[3] (que generalizan el Lema de Dehn).
  • Teorema de Geometrización para variedades de Haken
  • Teorema de Lickorish-Wallace

Problemas famosos

  • Conjetura de Poincaré
  • Geometrización de Thurston[4]
  • Conjetura de la fibración virtual.
  • Conjetura de ser virtualmente Haken.

Referencias

  • J. Hempel. 3-manifolds. Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ. Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
  • D. Rolfsen Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish Perish, Inc. 1976.
  • A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds. En línea disponible en [5]

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Variedad — significa: Objeto matemático. Ver Variedad (matemática). En biología, una categoría taxonómica. Ver variedad (biología). En lingüística, variedad lingüística es la forma lingüística existente en una comunidad de habla. En cibernética la Ley de… …   Wikipedia Español

  • Variedad del castellano en territorios catalanófonos — Saltar a navegación, búsqueda Para la lengua romance, véase Idioma catalán. Lenguas y dialectos hablados en España hacia 1950 …   Wikipedia Español

  • Variedad afín — Saltar a navegación, búsqueda En Geometría Algebraica, una varidad afín es el conjunto de ceros de un conjunto de polinomios. Definición Sea k un cuerpo. Sea k[x1,...,xn] el anillo de polinomios en las variables x1,...,xn y coeficientes en el… …   Wikipedia Español

  • variedad — cualidad de variable. Adaptación de un organismo o raza al medio ambiente. Existencia de variaciones. Categoría taxonómica imprecisa y de aceptación discutida en la actualidadl situada entre la especie (o subespecie) y la forma. Diccionario… …   Diccionario médico

  • variedad alternante — variabilidad en la que un carácter hereditario aparece y desaparece Diccionario ilustrado de Términos Médicos.. Alvaro Galiano. 2010 …   Diccionario médico

  • variedad fluctuante — variabilidad en la que existe un tránsito continuo de un extremo a otro. Diccionario ilustrado de Términos Médicos.. Alvaro Galiano. 2010 …   Diccionario médico

  • variedad — (Del lat. variĕtas, ātis). 1. f. Cualidad de vario. 2. Diferencia dentro de la unidad. 3. Conjunto de cosas diversas. 4. Inconstancia, inestabilidad o mutabilidad de las cosas. 5. Mudanza o alteración en la sustancia de las cosas o en su uso. 6.… …   Diccionario de la lengua española

  • Variedad (matemática) — En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede… …   Wikipedia Español

  • Variedad diferenciable — En Geometría y Topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en . En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es… …   Wikipedia Español

  • Variedad de Riemann — Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con un sistema de coordenadas ortogonales definido sobre ella, y varias subvariedades curvas de la misma. En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la… …   Wikipedia Español

  • Variedad de Kähler — En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad con estructura unitaria a (condición de integración. En particular, es una variedad compleja, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”