Teorema de Clairaut

Teorema de Clairaut

En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas entonces son iguales.

Contenido

Enunciado

Caso general

Sea :f \colon A \subseteq \Bbb{R}^n \to \Bbb{R} \,, A un abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A.

Entonces para cualquier punto (a_1, a_2, \dots, a_n) \in A, se cumple que:

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).

Enunciado del teorema en dos variables

Sea

f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}

una función de dos variables, definida en un abierto Ω del plano \mathbb{R}^{2}. si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en Ω (f\in \mathcal{C}^2(\Omega)) estas son iguales, es decir:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} .

Demostración

Sea

p = (x_0, y_0) \in \Omega \, .

Y sean \varepsilon \, , \delta > 0 \, reales tales que (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \subset \Omega \, . Lo cual es posible, ya que \Omega \, es un abierto de \mathbb{R}^2 \, .

Se definen dos funciones F \, y G \,

F : (-\varepsilon, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \, ,
G : (-\delta, \delta) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \, ,

de modo que:

F(t) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0 + t, y_0) \qquad \forall s \in (-\delta, \delta) \, ,
G(s) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0, y_0 + s) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, \varepsilon) \, .


Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

F(t) - F(0) = (t - 0) F'(\xi_1) = t \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + s) - \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0) \right] =
= t s \frac{{\partial}^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + \sigma_1) \, ,

y análogamente:

G(s) - G(0) = s t \frac{{\partial}^2 f}{\partial x \partial y} (x_0 + \xi_2, y_0 + \sigma_2) \, ,

con \xi_i \in (0, t) \, , \sigma_i \in (0, s) \, , por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen t, s > 0 \, .

Luego haciendo tender t \, y s \, a 0 \, se logra la tesis.


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