Cálculo diferencial

Cálculo diferencial

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial, un campo de las matemáticas, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Contenido

Diferenciación y diferenciabilidad

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

Derivadas de orden superior

La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:

f^\prime(a) para la primera derivada,
f^{\prime\prime}(a) para la segunda derivada,
f^{\prime\prime\prime}(a) para la tercera derivada,
f^{(n)}(a)\, para la enésima derivada (n > 3).

Para la función derivada de f(x), se escribe f^\prime(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe f^{\prime\prime}(x), y así sucesivamente.

Cociente diferencial de Newton

Derivative.png

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

f(x+h)-f(x)\over h

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo.

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente función:

f(x) \,\! = 5 \,\!

Entonces:

f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(5)-(5)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

Ejemplo 2

Consideremos la gráfica de f(x)=2x-3\,\!. Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:

f(x) \,\! = 2x-3 \,\!

Entonces:

f'(4) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
f'(5) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(5+h)-3-(2\cdot 5-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10+2h-3-10+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

Y vemos que se cumple para cualquier número n:

f'(n) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(n+h)-f(n)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(n+h)-3-(2\cdot n-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2n+2h-3-2n+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.

Ejemplo 3

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: f(x)=x^2 \,\!

Entonces:

f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x

Para cualquier punto x, la pendiente de la función f(x)=x^2 \,\! es f'(x) =2x \,\!.

El cociente diferencial alternativo

Arriba, la derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir del cociente de Newton. Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende c + h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). Así, la derivada es igual al límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición se utiliza para una demostración parcial de la regla de la cadena.

Notaciones para la diferenciación

La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas de la función f(x) en el punto x = a, se escribe:

f'(a) \,\! para la primera derivada,
f''(a) \,\! para la segunda derivada,
f'''(a) \,\! para la tercera derivada, y luego de forma general,
f^{n}(a) \,\! para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).

Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de f(x) \,\!, se escribe f'(x) \,\!. De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe f''(x) \,\!, y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:

\frac{d(f(x))}{dx}

Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:

\frac{df}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{df}{dx}(a).

Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:

\frac{dy}{dx}

Las derivadas de orden superior se expresan así

\frac{d^n(f(x))}{dx^n} o \frac{d^ny}{dx^n}

para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:

\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}

que se puede escribir sin mucho rigor como:

\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right).

Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.

La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la diferenciación parcial. Y también hace más fácil de recordar la regla de la cadena, debido a que los términos "d" se cancelan simbólicamente:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

Sin embargo, es importante recordar que los términos "d" no se pueden cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada.

La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:

\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)
\ddot{x} = x''(t)

y así sucesivamente.

La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.

Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará:

Dxf,

que es equivalente a la expresión:

\frac{d}{dx}f

En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones, de modo que los símbolos \frac{d}{dx} y Dx son llamados operadores diferenciales.

Puntos singulares

Se denominan puntos singulares ó estacionarios los valores reales en los que se anula la derivada de una función f(x) se denominan puntos singulares ó estacionarios.

Si f ´(x)=0 en x1, x2, x3, . . . , xn, entonces x1, x2, x3, . . . , xn son puntos singulares de f(x). Los valores f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xn), se llaman valores singulares.


Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.


Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

Derivadas notables

  • Para las funciones logarítmicas:
f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x
La derivada de e elevado a x es e elevado a x
f(x)=ln(x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}
La derivada del logaritmo natural (ln) de x es 1 dividido entre x
  • Para las funciones trigonométricas
f(x)=\sin(x) \rightarrow f'(x)=\cos(x)
La derivada del seno de x es el coseno de x.
f(x)=\cos(x) \rightarrow f'(x)=-\sin(x)
La derivada del coseno x es menos seno de x.
f(x)=\tan(x) \rightarrow f'(x)=\sec^2(x)
La derivada de la tangente de x es la secante al cuadrado de x.
f(x)=\csc(x) \rightarrow f'(x)=-\csc(x)\cot(x)
La derivada de la cosecante de x es el producto de menos cosecante de x por la cotangente de x.
f(x)=\sec(x) \rightarrow f'(x)=\sec(x)\tan(x)
La derivada de la secante de x es el producto de la secante de x por la tangente de x.
f(x)=\cot(x) \rightarrow f'(x)=-\csc^2(x)
La derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x.

Física

Es posible que la aplicación más importante del cálculo en la física sea el concepto de "derivada temporal" -- la tasa de cambio en el tiempo -- que se requiere para la definición precisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas con respecto al tiempo de la posición de un objeto son significativas en la física Newtoniana:

  • La velocidad (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.
V(t)=\frac{dx}{dt}
  • La aceleración es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.
a(t)=\frac{dV}{dt}
  • La Sobreaceleración o el tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de un objeto.
S(t)=\frac{da}{dt}

Por ejemplo, si la posición de un objeto está determinada por la ecuación:

x(t) = -16t^2 + 16t + 32 \,\!

entonces la velocidad del objeto es:

\dot x(t) = x'(t) = -32t + 16

La aceleración del objeto es:

\ddot x(t) = x''(t) = -32

y el tirón del objeto es:

x'''(t) = 0 \,\!

Si la velocidad de un auto está dada como una función del tiempo, entonces la derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la aceleración del auto como una función del tiempo.

Manipulación algebraica

Los engorrosos cálculos de límites pueden ser evitados en ciertos casos, si se usan las reglas de diferenciación. Éstas permiten encontrar las derivadas a través de una manipulación algebraica, en vez de recurrir a la aplicación directa del cociente diferencial de Newton. Sin embargo, no se debería inferir que la definición de las derivadas, en términos de límites, es innecesaria. En cambio, esa definición nos da los medios para demostrar las poderosas "reglas de diferenciación" que han sido derivadas del cociente diferencial.

  • Regla de la constante: La derivada de cualquier constante es cero.
    • Regla de la multiplicación por una constante:
Si c es cualquier número real, entonces la derivada de cf(x), es igual a c multiplicado por la derivada de f(x). Esto es una consecuencia de la linealidad, que se verá más adelante.
  • Linealidad:
\left(af(x) + bg(x)\right)' = af'(x) + bg'(x), para todas las funciones f y g y todos los números reales a y b.
  • Regla general de la potencia (Regla del polinomio):
Si f\left(x\right) = x^r, para todo r real,
entonces f'\left(x\right) = rx^{r-1} .
  • Regla del producto:
\left(fg\right)' = f'g + fg' para todas las funciones f y g.
  • Regla del cociente:
\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} si g es diferente de cero.
Si f\left(x\right) = h(g(x)),
entonces f'\left(x\right) = h'[g(x)] * g'(x).
  • Funciones inversas y diferenciación:
Si y = f\left(x\right),
entonces x = f^{-1}\left(y\right),
y si f\left(x\right) y su inversa f^{-1}\left(x\right) son diferenciables,
entonces \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} para los casos en que dx \ne 0 y cuando dy \ne 0,
  • Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable:
Sea x = f\left(t\right) y y = g\left(t\right).
entonces \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
  • Diferenciación implícita:
Si f\left(x,y\right) \ne 0 es una función implícita,
se tiene que: \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

De forma adicional, es útil conocer las derivadas de algunas funciones comunes. Vea la tabla de derivadas.

Como ejemplo, la derivada de

f(x) = 2x^4 + \sin(x^2) - \ln(x)\;e^x + 7

es

f'(x) = 8x^3 + 2x\cos(x^2) - \left(\frac{1}{x}\right)\;e^x - \ln(x)\;e^x.

Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3).

Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

Más información

Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una función con respecto a todas, excepto una variable que se mantiene constante cerca de un punto. Las derivadas parciales se representan como \frac{\partial}{\partial x} (en donde \partial; es una 'd' redondeada conocida como 'símbolo de la derivada parcial').

El concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangenciales y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los grupos tangenciales.

Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución.

Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función f(x + iy) = x + 2iy satisface lo segundo, pero no lo primero. Vea también Función holomórfica.

Vea también: diferintegral.

Referencias

  • Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3a Edición) por Edwards, Hostetler, y Larson (2003)

Véase también

Enlaces externos


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