Teorema de De Moivre-Laplace

Teorema de De Moivre-Laplace

En probabilidad el teorema de Moivre-Laplace es una aproximación normal a la distribución binomial. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite. Establece que la distribución binomial del número de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media np y desviación típica \sqrt{npq}, si n es suficientemente grande y se satisfacen determinadas condiciones.

El teorema apareció por primera vez en la segunda edición de The Doctrine of Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Los "ensayos de Bernoulli" no se llamaron así en ese libro, pero De Moivre escribió lo suficiente sobre la distribución de probabilidad de el número de veces que aparecía "cara" cuando se lanzaba una moneda 1800 veces.[cita requerida]

El teorema

Si n \rightarrow \infty, entonces para k en el entorno \sqrt{npq}-de np, se puede aproximar[1] [2]

\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(k-np)^2 / 2npq}, \ \ p+q=1, \ p>0, \ q>0.

En forma de límite el teorema establece que:[1] [2]

\frac{\sqrt{2 \pi npq} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k}}{e^{-(k-np)^2 / 2npq}} \rightarrow 1 cuando n \rightarrow \infty.

Véase también

  • Teorema central del límite

Referencias

  1. ↑ a b Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", 4th Edition
  2. ↑ a b Feller, W. (1968) An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Volume 1). Wiley. ISBN 0-471-25708-7. Section VII.3

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