- Teorema de Gauss-Bonnet
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El teorema de Gauss-Bonnet en geometría diferencial es una proposición importante sobre superficies que conecta su geometría (en el sentido de la curvatura) con su topología (en el sentido de la característica de Euler).
Contenido
Definición
Supóngase que M es una variedad de Riemann compacto orientable de dimensión 2, con borde . Denótese por K la curvatura gaussiana en los puntos de M y por kg la curvatura geodésica en los puntos de . Entonces
donde χ(M) es la característica de Euler de M.
El teorema se puede aplicar en particular si la variedad no tiene borde, en cuyo caso la integral puede ser omitido.
Si se dobla o deforma la variedad M su característica de Euler no cambiará, mientras que las curvaturas en los puntos dados sí. El teorema requiere, algo asombrosamente, que la integral total de todas las curvaturas siga siendo igual.
Generalizacines
Una generalización a n dimensiones fue encontrada en los años 40 por Allendoerfer, Weil y Chern. Ver el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el homomorfismo de Chern-Weil.
Véase también
- Teorema de Gauss-Bonnet generalizado
- Homomorfismo de Chern-Weil
Enlaces externos
Weisstein, Eric W. «Gauss-Bonnet Formula» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Categorías:- Geometría de Riemann
- Teoremas de geometría diferencial
- Superficies
- Superficie de Riemann
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