Teorema de Gauss-Bonnet

Teorema de Gauss-Bonnet
Un ejemplo de región compleja donde el teorema de Gauss-Bonnet puede ser aplicado. Se muestra el signo de la curvatura geodésica.

El teorema de Gauss-Bonnet en geometría diferencial es una proposición importante sobre superficies que conecta su geometría (en el sentido de la curvatura) con su topología (en el sentido de la característica de Euler).

Contenido

Definición

Supóngase que M es una variedad de Riemann compacto orientable de dimensión 2, con borde \partial M. Denótese por K la curvatura gaussiana en los puntos de M y por kg la curvatura geodésica en los puntos de \partial M. Entonces

\int_M K\;dA-\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)

donde χ(M) es la característica de Euler de M.

El teorema se puede aplicar en particular si la variedad no tiene borde, en cuyo caso la integral \int_{\partial M}k_g\;ds puede ser omitido.

Si se dobla o deforma la variedad M su característica de Euler no cambiará, mientras que las curvaturas en los puntos dados sí. El teorema requiere, algo asombrosamente, que la integral total de todas las curvaturas siga siendo igual.

Generalizacines

Una generalización a n dimensiones fue encontrada en los años 40 por Allendoerfer, Weil y Chern. Ver el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el homomorfismo de Chern-Weil.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Gauss-Bonnet Formula» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.


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