Teorema de Gauss-Bonnet generalizado
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En matemáticas, el teorema de Gauss-Bonnet generalizado presenta la característica de Euler de una variedad de Riemann cerrada como integral de cierto polinomio derivado de su curvatura. Es una generalización directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensión par en general.
Sea M una variedad de Riemann compacta de la dimensión 2n y sea Ω la forma de curvatura de la conexión de Levi-Civita. Esto significa que Ω es 
-valorada en M. Tal Ω puede ser mirado como matriz anti-simétrica 2n×2n cuyas entradas sean 2-formas, así que es una matriz sobre el anillo conmutativo 
. Uno puede por lo tanto tomar el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.
El teorema de Gauss-Bonnet generalizado establece que
donde Χ denota la característica de Euler de M.
Otras generalizaciones
Como con el teorema de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con borde.
Véase también
- Homomorfismo de Chern-Weil
- Número de Pontryagin
- Clase de Pontryagin
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2010.
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