Operador lineal acotado

Un operador lineal acotado u operador acotado es una aplicación lineal definida sobre un espacio vectorial normado tal que la norma de sus valores puede acotarse. Más precisamente, la aplicación lineal $B:X\longrightarrow Y\;$ es un operador actotado si y solo sí:

$\exists K\in\mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K$

Propiedades de los operadores acotados

En un espacio vectorial normado de dimensión finita todo operador lineal es acotado. Por lo que el concepto de operdor acotado sólo resulta interesante y no-trivial en espacios de dimensión no-finita como los que aparecen en el análisis funcional o la mecánica cuántica.
Un operador acotado (en un espacio de Banach) es una función continua entre espacios vectoriales. Trivialmente todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita son continuas, sin embargo, esto último no es cierto para espacios de dimensión infinita.
El espectro de un operador acotado es un conjunto acotado.

Jerarquía de operadores acotados

Existen diversos subtipos de operadores acotados, según se impongan criterios más restrictivos sobre sus propiedades. En particular en espacios de dimensión infinita puede establecerse la siguiente secuencia de inclusiones propias:^[1]

$\mbox{acotado} \supset \mbox{compacto} \supset \mbox{Hilbert-Schmidt} \supset \mbox{Operador con traza} \supset \mbox{degenerado}$

En dimensión finita si un operador es acotado pertenece a la clase de operadores acotados entonces también pertenece a cualquiera de las otras clases de arriba, por lo que la cadena anterior es trivial.

En lo que sigue consideraremos sólo espacios de Banach o de Hilbert.

Operadores compactos

Un operador A se llama compacto o absolutamente continuo si para toda sucesión acotada la imagen de dicha sucesión contiene una subsucesión convergente. Es decir:

$\left(\forall \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty: \max_{j}\|\varphi_j\| \le C\right) \Rightarrow \left(\exists \{\varphi_{j_k}\}_{k=1}^\infty: A\varphi_{j_k}\ \mbox{converge}\right)$

Obsérvese que un operador compacto necesariamente es acotado. Si un operador no fuera acotado podríamos encontrar una secuencia acotada que diverge en norma $\|A\varphi_j\| \to \infty$ y por tanto sería imposible encontrar una subsecuencia convergente, y por tanto tampoco podría ser compacto.

Operadores Hilbert-Schmidt

Un operador de Hilbert–Schmidt (llamados así por David Hilbert y Erhard Schmidt) es un operador acotado A sobre un espacio de Hilbert H cuya normla de Hilbert–Schmidt es finita, es decir:^[2]

$\|A\|^2_{HS}={\rm Tr} |A|^2:= \sum_{n\ge 0} \|Ae_n\|^2$

donde

$\|\ \|$ es la norma del espacio H

{e n : n = 0,1,2,...}

es una base de Hilbert ortonormal para H

Esta definición resulta independiente de la elección de la base y por tanto:

$\|A\|^2_{HS}=\sum_{m,n\ge0} |A_{m,n}|^2 = \|A\|^2_2$

para $\scriptstyle A_{m,n}=\langle e_m, Ae_n \rangle$ y $\scriptstyle \|A\|_2$ la norma de Schatten de $A$ . En el espacio euclídeo $\scriptstyle \|\ \|_{HS}$ se llama también norma de Frobenius.

El producto de dos operadores de Hilbert–Schmidt tiene una norma de traza finita; por tanto si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, se puede definir el producto interno de Hilbert–Schmidt entre ellos como:

$\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr} (A^*B) = \sum_{n\ge 0} \langle Ae_n, Be_n \rangle.$

Los operadores de Hilbert–Schmidt forman un ideal bilateral *-ideal en el álgebra de Banach formada por los operadores acotados de H. Los operadores de Hilbert–Schmidt son cerrados en la nomra topológica, si y sólo si, H es de dimensión finita. Los operadores de Hilbert-Schmidt de un espacio, también forman ellos mismos un espacio de Hilbert y puede demostrarse que existe una transformación naturalmete isométrica e isomorfa entre ese espacioy el producto tensorial de espacios de Hilbert:

$H^* \otimes H,$

donde H* es el espacio dual topológico de H.

Operadores con traza

Operadores degenerados

Referencias

↑ Ritchmyer, p 241.
↑ Moslehian, M.S.. «Hilbert-Schmidt Operator (From MathWorld)».

Bibliografía

Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.

Categorías:

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

Operador — En matemáticas, el término operador puede usarse con varios significados. Algunas veces, un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada[1] sobre un cierto número de operandos (número,… … Wikipedia Español
Operador hermitiano — Saltar a navegación, búsqueda Un operador hermítico definido sobre un espacio de Hilbert es un operador lineal que, sobre un cierto dominio, coincide con su propio operador adjunto. Una propiedad importante de estos operadores es que sus… … Wikipedia Español
Operador (mecánica cuántica) — Se ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado en observable (discusión). Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí. El operador cuántico es el operador matemático que representa a una… … Wikipedia Español
Operador hermítico — Un operador hermítico (tambien llamado hermitiano) definido sobre un espacio de Hilbert es un operador lineal que, sobre un cierto dominio, coincide con su propio operador adjunto. Una propiedad importante de estos operadores es que sus… … Wikipedia Español
Espectro de un operador — Saltar a navegación, búsqueda El espectro de un operador es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de valor propio (autovalor) a espacios vectoriales de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en análisis… … Wikipedia Español
Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) … Wikipedia Español
Teorema de Hahn–Banach — En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn … Wikipedia Español
Teorema de Liouville (análisis complejo) — Para otros teoremas homónimos, véase Teorema de Liouville. En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante.… … Wikipedia Español
Elemento positivo — En análisis funcional, un elemento de una C* álgebra es un elemento positivo si su espectro consiste en números reales positivos. Si A es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert , entonces esta noción coincide con la condición que… … Wikipedia Español
Elemento positivo — En análisis funcional, un elemento de una C* álgebra es un elemento positivo si su espectro consiste en números reales positivos. Si A es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert , entonces esta noción coincide con la condición que… … Enciclopedia Universal

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Operador lineal acotado

Contenido

Propiedades de los operadores acotados