Teorema de Jordan-Schönflies

En topología geométrica, el teorema de Jordan–Schönflies, o simplemente el teorema de Schönflies es una generalización del teorema de la curva de Jordan.

Formulación

El teorema señala que cualquier curva cerrada simple del plano no solo divide el plano en dos regiones, una acotada (la interna), y otra ilimitada (la externa), sino que también ambas regiones son homeomórficas hacia el interior y el exterior con un círculo. De manera más precisa: El plano puede ser mapeado en sí mismo mediante una función continua biyectiva, cuyo inverso también es continuo, de modo de que una curva simplemente cerrada se vuelva un círculo normal (sus fronteras internas y externas se convertirían en las del círculo).

Tal teorema es válido sólo en el caso de dos dimensiones. En tres dimensiones existen contraejemplos, como la esfera cornuda de Alexander. Aunque dividen el espacio en dos regiones, aquellas regiones no son homeomórficas con una esfera normal.

Generalizaciones

Existe una generalización para más dimensiones, gracias a Morton Brown, e independientemente a Barry Mazur y Marston Morse, que también es llamado el Teorema de Schönflies. Dice que si una esfera (n − 1)-dimensional S está incrustada dentro de una esferan-dimensional Sⁿ de una manera localmente plana, entonces el par (Sⁿ, S) es homeomórfico con el par (Sⁿ, Sⁿ⁻¹), donde Sⁿ⁻¹ es el ecuador de la n-esfera. Brown y Mazur recibieron el Premio Oswald Veblen en Geometría por sus contribuciones.

Referencias

• Brown, Morton (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 66, pp. 74–76. MR0117695
• Mazur, Barry, On embeddings of spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 65 1959 59--65. MRMR0117693
• Morse, Marston, A reduction of the Schoenflies extension problem, Bull. Amer. Math. Soc. 66 1960 113--115. MR0117694