- Teorema de Sturm
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El Teorema de Sturm fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm. Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo. Dice lo siguiente:
- A partir de un polinomio dado
, supongamos los siguientes polinomios
cumpliendo lo siguiente:
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- ...
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(Esto es, básicamente, el Algoritmo de Euclides)- Para todo número real que no sea una raíz de
, sea
el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica
en la que se omiten todos los ceros. Siy
son números cualesquiera
, para los cuales
no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo
(las raíces múltiples se cuentan sólo una vez) es igual a
Demostración del Teorema de Sturm
En primer lugar hay que dejar claro que, dada una sucesión de números reales en la que previamente se ha prescindido de posibles elementos nulos, se dice que dos términos consecutivos presentan variación cuando son de signos opuestos. Por ejemplo, en la sucesión 1, 3, -5, -2, 7 presenta dos variaciones.
Establecido este concepto, consideremos una ecuación
de grado
que supondremos que admite únicamente simples (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tienen las mismas raíces, pero simples. Este hecho se comprueba porque
en la cadena anterior, es el máximo común divisor de cualquier par de polinomios de la misma. Por ello, al dividir todos los polinomios por
conseguimos rebajar los órdenes de multiplicidad de las raíces a uno.
Así pues, consideramos la llamada sucesión de Sturm resultante de dividir por
. Llamamos a los términos de dicha sucesión:
En estas condiciones, sies un cero de
y
, puesto que si alguno de los dos fuese cero, lo sería el otro en virtud de la relación:
y descendiendo sería!!! Lo cual es absurdo pues debería ser constante distinta de cero.
Sea un intervalo cerrado cualquiera y estudiemos la variación de signo en ese intervalo. Para ello consideremostodas las raíces ordenadas de menor a mayor de los polinomios
en el intervalo.
En los intervalos del tipo
no se anula ningún polinomio de la cadena, por tanto no hay variaciones en el signo, así pues,
.
Pero supongamos ahora que
es raíz de
. Por lo visto antes, si
y
son distintos de cero y, por tanto lo son en
y
. Tenemos, pues, la siguiente situación:
Teniendo en cuenta que. Luego en la sucesión
siempre hay un cambio de signo, por lo que
. Es decir, para valores de
a la izquierda de
hay una variación. Para valores a la derecha de
hay otra variación. Por tanto al pasar por
, las variaciones de signo no cambia, esto es,
con
a la izquierda de
y
un valor a la derecha de
sin ser ceros de
.
Ahora consideremos que
es raíz de
. Por tanto será raíz simple de
. Según el algoritmo,
y
tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz
. Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de
) la función
toma signos iguales que
y
, al pasar
por el cero de
,esto es,
, entonces
tomará distintos valores que
y
al otro lado de la raíz
. A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo. Lo cuál quiere decir ahora que
y, por tanto, hay variación neta de signo al pasar por una raíz de
es decir, por
.
En resumen, si al pasarpor un cero de
se pierde (o se gana) una variación, mientras que al pasar por un cero de
no aumenta ni disminuye el número de ellas, se concluye que las variaciones de la sucesión de Sturm que se pierden (o ganan) cuando
va desde
hasta
son tantas como las raíces de la ecuación
contenidas en el intervalo
Bibliografía
- Elementos de Matemáticas. Universidad de Valladolid. (1985)
- A partir de un polinomio dado
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