Teorema de Sturm

Teorema de Sturm

El Teorema de Sturm fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm. Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo. Dice lo siguiente:

A partir de un polinomio dado f(x)\,, supongamos los siguientes polinomios f_1(x),f_2(x),f_3(x),...,f_r(x)\,\! cumpliendo lo siguiente:
f_1(x)=f'(x)\,\!
f(x)=q_1f_1(x)-f_2(x)\,\!
f_1(x)=q_2f_2(x)-f_3(x)\,\!
...
...
...
f_{r-1}(x)=q_rf_r(x)\,\!


(Esto es, básicamente, el Algoritmo de Euclides)

Para todo número real que no sea una raíz de f(x)\,, sea v(a)\, el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica


f(a),f_1(a),f_2(a),...,f_r(a)\,\!


en la que se omiten todos los ceros. Si b\, y c\, son números cualesquiera (b<c)\,, para los cuales f(x)\, no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo [b,c]\, (las raíces múltiples se cuentan sólo una vez) es igual a v(b)-v(c)\,

Demostración del Teorema de Sturm

En primer lugar hay que dejar claro que, dada una sucesión de números reales en la que previamente se ha prescindido de posibles elementos nulos, se dice que dos términos consecutivos presentan variación cuando son de signos opuestos. Por ejemplo, en la sucesión 1, 3, -5, -2, 7 presenta dos variaciones.

Establecido este concepto, consideremos una ecuación f(x)=0\, de grado n\, que supondremos que admite únicamente simples (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tienen las mismas raíces, pero simples. Este hecho se comprueba porque f_r(x)\, en la cadena anterior, es el máximo común divisor de cualquier par de polinomios de la misma. Por ello, al dividir todos los polinomios por f_r(x)\, conseguimos rebajar los órdenes de multiplicidad de las raíces a uno.

Así pues, consideramos la llamada sucesión de Sturm resultante de dividir por f_r(x)\,. Llamamos a los términos de dicha sucesión: f_0(x),f_1(x),f_2(x),...,f_r(x)\,


En estas condiciones, si x_q\, es un cero de f_k(x) \Rightarrow f_{k-1}(x_q) \not= 0\, y f_{k+1}(x_q) \not= 0\,, puesto que si alguno de los dos fuese cero, lo sería el otro en virtud de la relación:


f_{k-1}(x)=q_kf_k(x)-f_{k+1}(x)\,


y descendiendo sería f_r(x_q)=0\, !!! Lo cual es absurdo pues debería ser constante distinta de cero.


Sea un intervalo cerrado cualquiera y estudiemos la variación de signo en ese intervalo. Para ello consideremos x_1,x_2,x_3,...,x_p\, todas las raíces ordenadas de menor a mayor de los polinomios f_0(x),f_1(x),f_2(x),...,f_r(x)\, en el intervalo.

En los intervalos del tipo (x_i,x_{i+1})\, no se anula ningún polinomio de la cadena, por tanto no hay variaciones en el signo, así pues, v(a)=cte, \forall a \in (x_i,x_{i+1})\, .

Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de fk(x)

Pero supongamos ahora que x_q\, es raíz de f_k, k=1,2,...,r\,. Por lo visto antes, si f_k(x_q)=0 \Rightarrow f_{k-1}(x_q)\, y f_{k+1}(x_q)\, son distintos de cero y, por tanto lo son en (x_{q-1},x_q]\, y [x_q,x_{q+1})\,. Tenemos, pues, la siguiente situación:


f_k(x_q)=0\,
f_{k+1}(x_q) \not= 0\,
f_{k-1}(x_q) \not= 0\,
\forall x \in (x_{q-1},x_{q+1})\,


Teniendo en cuenta que signo[f_{k-1}(x)] \not= signo[f_{k+1}(x)]\,. Luego en la sucesión f_{k+1},f_k,f_{k-1}\, siempre hay un cambio de signo, por lo que v(a)=1, \forall a \in (x_{q-1},x_{q+1})\,. Es decir, para valores de x\, a la izquierda de x_q\, hay una variación. Para valores a la derecha de x_q\, hay otra variación. Por tanto al pasar por x_q\,, las variaciones de signo no cambia, esto es, v(b)-v(a)=0\, con a\, a la izquierda de x_q\, y b\, un valor a la derecha de x_q\, sin ser ceros de f_k(x)\,.


Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de f0(x) = f(x)

Ahora consideremos que x_q\, es raíz de f(x)\,. Por tanto será raíz simple de f_0(x)\,. Según el algoritmo, f_1(x)\, y f_2(x)\, tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz x_q\,. Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de x_q\,) la función f_0(x)\, toma signos iguales que f_1(x)\, y f_2(x)\,, al pasar x\, por el cero de f_0(x)=f(x)\,,esto es, x_q\,, entonces f(x)\, tomará distintos valores que f_1(x)\, y f_2(x)\, al otro lado de la raíz x_q\,. A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo. Lo cuál quiere decir ahora que v(b)-v(a)=1\, y, por tanto, hay variación neta de signo al pasar por una raíz de f_0(x)\, es decir, por f(x)\,.


En resumen, si al pasar x\, por un cero de f(x)\, se pierde (o se gana) una variación, mientras que al pasar por un cero de f_k(x)\, no aumenta ni disminuye el número de ellas, se concluye que las variaciones de la sucesión de Sturm que se pierden (o ganan) cuando x\, va desde a\, hasta b\, son tantas como las raíces de la ecuación f(x)=0\, contenidas en el intervalo (a,b)\,

Bibliografía

  • Elementos de Matemáticas. Universidad de Valladolid. (1985)

Wikimedia foundation. 2010.

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