Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. $x 2 + 6 x + 6$ ). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio $f (x)$ tiene un factor $(x - k)$ si y sólo si $k$ es una raíz de $f (x)$ , es decir que $f (k) = 0$ .

Ejemplo

Si se desea encontrar los factores de $x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2$ , para ello se podría tantear un primer factor, $(x - a)$ . Si el resultado de sustituir $a$ en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es $(x - 1)$ un factor? Para saberlo, se sustituye $x = 1$ en el polinomio:

$x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + 2 = 1 + 7 + 8 + 2 = 18$

Cómo esta operación da 18 (y no 0), $(x - 1)$ no es un factor de $x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2$ . Así que ahora se prueba con $(x + 1)$ (sustituyendo $x = - 1$ en el polinomio):

$(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2$ .

Que da como resultado 0. Por tanto, $x - ( - 1)$ , que es equivalente a $x + 1$ , es un factor, y -1 es una raíz de $x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2$ .

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo $x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2$ entre $(x + 1)$ para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de nuevo por el teorema del factor, o directamente con la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

$\frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}= x^2 + 6x + 2$

Categorías:

Teoremas de álgebra
Polinomios

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