Raíz cuadrada

Raíz cuadrada
Expresión matemática de "raíz cuadrada de X".
La gráfica de la función f(x) = \sqrt x es una parábola con directriz vertical.

En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada (\sqrt{\ }) de un número a aquel otro —mayor o igual que cero— que elevado al cuadrado, es igual al primero. A veces se abrevia como raíz.

La raíz cuadrada es la operación matemática inversa a elevar al cuadrado. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado.

La raíz cuadrada de x se expresa:

y = \sqrt x

o bien:

y = x^{\frac{1}{2}}

es porque:

y \cdot y = y^2 = x \;

Por ejemplo:

\sqrt{16} = 4

ya que

4^2 = 4 \times 4 = 16

Contenido

Historia

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.[1] En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.[2] Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
David Eugene Smith[3]

El símbolo de la raíz cuadrada (\sqrt{\ }) fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación[4] [5] que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.

Irracionalidad de las raíces cuadradas

Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si \sqrt n fuera racional se debería poder expresar como \frac{p}{q} con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que n = \frac{p^2}{q^2}, lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto p2 como q2 se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.

Resolución de raíces cuadradas

Artículo principal: Cálculo de la raíz cuadrada
Partes de la Raiz Cuadrada.PNG

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

Algoritmo

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

  1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
  2. Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
  3. Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
  4. Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
  5. Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Algoritmos para máquinas

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:

\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x} o \sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

Se explota la misma identidad al computar raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo.

Extensión de las raíces cuadradas

La raíz cuadrada en los números complejos

Raíz cuadrada compleja.
Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.
Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.

El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que i^2 = -1\,\!. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i)^2= i^2 = -1\,\!, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = i\sqrt{x}

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i^2 = -1\,\!, por lo que entonces:

\left(i\sqrt{x}\right)^2 = i^2\sqrt{x}^2 = (-1)x = -x

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera

\sqrt{\pm ix} = \sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir \sqrt zpara ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w^2 = Z\,\!. Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

y

- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

La definición general de \sqrt z está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para \sqrt{1+x} sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

Ahora bien, sea un número complejo;

z = \sqrt{x + iy}

de este modo podemos expresar lo siguiente;

z = z_{re} + iz_{im} \;

elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación;

x + iy = z_{re}^2 - z_{im}^2 + i2z_{im}z_{re}

de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto;

  1. z_{re}^2 - z_{im}^2 = x \;
  2. 2z_{im}z_{re} = y \;

en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas formulas se obtiene:

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}

donde \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2} (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando. Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley \sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que -1 = 1\,\!:

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = \pm 1

Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como:

\sqrt{1} = 1 \longrightarrow \quad 1 \cdot 1 = 1^2 = 1
\sqrt{1} = -1 \longrightarrow \quad (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1

Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación.

Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como:

re^{i\theta} \;

ya que

ae^{i\alpha} \times be^{i\beta} = \left( ab \right) e^{i \left( \alpha + \beta \right) }

entonces es fácil ver que:

\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r}~e^{i\frac{\theta}{2}}

Raíz cuadrada de matrices

La existencia de un producto de matrices permite definir la raíz de una matriz como aquella matriz que multiplicada por sí misma da la original.

Si A es una matriz definida positiva u operador, entonces existe exactamente una matriz definida positiva u operador B tal que B2 = A; entonces definimos \sqrt A = B

Más generalmente, para cada matriz u operador normal A existen operadores normales B tales que B2 = A. En general, hay muchos de esos operadores B para cada A y entonces la función raíz cuadrada no puede ser definida satisfactoriamente para operadores normales. En cierta manera se puede decir que los operadores definidos positivos son similares a los números reales positivos, y los operadores normales son similares a los números complejos.

Para una matriz "A" real simétrica definida positiva, en: A. Mendoza Mexía, O. R. Gómez Aldama, "Un método simplificado de Newton para calcular la raíz cuadrada de una matriz real simétrica definida positiva", Métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería: Revista internacional, ISSN 0213-1315, Vol. 26, Nº 1, 2010 , pags. 47-53.

Los autores presentan un algoritmo muy sencillo y computacionalmente eficiente para calcular la raíz cuadrada de este importante tipo de matrices. El algoritmo es el siguiente:

Ecuacion raizjpg.JPG

El símbolo "\" indica el proceso de eliminación Gaussiana.

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Una raíz cuadrada puede ser construida con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de a y b es \sqrt{ab}, uno puede construir \sqrt{a} simplemente tomando b = 1.

La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página. No obstante, Descartes no afirmo originalidad y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

Otro método de construcción geométrica usa triángulos rectos e inducción: \sqrt{1} = 1 puede, desde luego, ser construido, y una vez que \sqrt{x} ha sido construido, el triángulo recto con 1 y \sqrt{x} como catetos, tiene una hipotenusa de \sqrt{x+1}.

Pasos a seguir para la construcción geométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Para calcular la raíz cuadrada de un número mediante una construcción geométrica los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Trazamos un segmento a\,\! de la longitud del número que queramos calcular su raíz cuadrada.
  2. Extendemos ese segmento de medida a\,\! en 1 en la unidad de medida que hayamos tomado el otro, de modo que tengamos el segmento AB\,\! de medida a + 1\,\!.
  3. Trazamos un círculo que tenga como diámetro esta medida de a + 1\,\!.
  4. En el punto O\,\!, que es donde empieza la extensión de medida 1 en el segmento, trazamos una línea perpendicular al segmento trazado y la línea obtenida que va del punto O\,\! hasta tocar la circunferencia en el punto H\,\! tiene como medida OH = \sqrt a.

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles.

Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB

Antes de demostrar la igualdad primero hay que demostrar que los triángulos AHO\,\! y OHB\,\! son triángulos semejantes a partir de un sistema de ecuaciones pero tomando antes ciertas consideraciones:

  1. El ángulo H\,\! en su totalidad tiene 90º obligatoriamente ya que AB\,\! es diagonal de un arco capaz.
  2. Ya que en los pasos seguidos pasa su construcción la línea OH\,\! tenía que ser expresamente perpendicular a AB\,\! entonces los dos ángulos formados con O\,\!, tanto el derecho como el izquierdo que en conjunto suman a éste, tienen que tener cada uno 90º.
  3. La suma de todos los lados de un triángulo es igual a 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones:

  1. 180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!
  2. 180 = 90 + A + H_i\,\!

Donde H_i\,\! es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo H_d\,\! se puede representar como la resta de 90 - H_i\,\! ya que 90º es el valor de H\,\! entero. Al resolver la primera ecuación vemos que:

180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!;
H_i = B\,\!.

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:

90 = A + H_i\,\!;
A = 90 - H_i\,\!.

Con lo que al ser 90 - H_i = H_d\,\! se saca que A = H_d\,\! y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera A H_i O_i\,\! ~ H_d B O_d\,\!. Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}

Recordando que al construir geométricamente la raíz AO\,\! siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH};
OB = OH^2\,\!;
OH = \sqrt{OB}.

Quedando demostrada

Propiedades

Propiedades generales

Artículo principal: Propiedades de la radicación
Gráfica de la ecuación: y2 = x

La función raíz cuadrada f(x) = \sqrt{x} es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto \left[0,\infty\right) (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

  • \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
  • \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
  • \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; \sqrt x es racional si y sólo si x\, es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 1^2 = 1\,, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, \sqrt 2 es irracional.
  • La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
  • Contrariamente a la creencia popular, \sqrt{x^2} no necesariamente es igual a x. La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos x, pero cuando x < 0, \sqrt{x^2} es un número positivo, y entonces \sqrt{x^2} = -x. Por lo tanto, \sqrt{x^2} = \left|x\right| para todos los números reales x (véase valor absoluto).
  • Suponga que x y a son números reales, y que x2 = a, y se desea encontrar x. Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que x = \sqrt a. Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de x2 no es x, sino el valor absoluto \left| x \right|, una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que \left| x \right| = \sqrt a, o equivalentemente x = \pm\sqrt a.
  • En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):
\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}
y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero.
  • La función \sqrt x es continua para todos los números no negativos x, y derivable para todos los números positivos x (no es derivable para x = 0 ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}
\sqrt{x+1}\,\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n
= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots
para \left| x \right| < 1.

Radicales jerarquizados cuadrados

Artículo principal: Radical jerarquizado

La identidad 2=\sqrt{2+2} implica que 2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}, y por repeticiones sucesivas:

2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

Por razones análogas se obtiene:

3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}};

o que

4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}};
...

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.

Fracciones continuas

Artículo principal: Fracción continua

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,

Aproximaciones enteras

Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por:

CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27
RAÍZ 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5

Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:

  • El cero es repetido una vez.
  • El 1 tres veces.
  • El 2 cinco veces
  • El 3 siete veces.
  • El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:

(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Raíces cuadradas útiles

Artículo principal: Anexo:Raíces cuadradas
Raíz cuadrada de 2.

Raíz cuadrada de 2

Artículo principal: Raíz cuadrada de 2

Quizás la raíz cuadrada más útil es \sqrt 2, también conocida como constante pitagórica, que es geométricamente la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden la unidad (ver imagen), pudiéndose demostrar mediante el teorema de Pitágoras:

1^2+1^2 = x^2\,\!
x = \sqrt 2

Probablemente la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623

Raíz cuadrada de 3

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.
Artículo principal: Raíz cuadrada de 3

La raíz cuadrada de 3: \sqrt 3, también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.

El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075

Raíz cuadrada de 5

Artículo principal: Raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5: \sqrt 5, aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.

Notas

  1. ↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
  2. ↑ Joseph, G.G., cap. 8.
  3. ↑ Smith, D.E., pag. 148.
  4. ↑ Boyer, Carl Benjamin. Historia de la matemática, trad:Mariano Martínez Pérez, Alianza Editorial, 1992, Pág 360, ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.
  5. ↑ Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, 1997, Pág 1452, ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.

Referencias

Véase también

Referencias

Enlaces externos


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