Teorema del cateto

Teorema del cateto
Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la misma.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

b^2 \ =\ c\; m

a^2 \ =\ c\; n

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

  1. Todos tienen un ángulo recto.
  2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
  3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:


  • Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
\frac {b}{m}=\frac {c}{b}


de dónde,


b^2 \ =\ cm


  • Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC


\frac {a}{n}=\frac {c}{a}


a^2 \ =\ cn


y el teorema queda demostrado.

== Corolario ==

(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.”

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

b^2 \ =\ c\; m \;\;\;\; ; \;\;\;\; a^2 \ =\ c\; n

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

m=\frac{b^2}{c} \;\;\;\; ; \;\;\;\; n=\frac{a^2}{c}

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Véase también


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