Teorema del resto

Teorema del resto

En álgebra el teorema del resto afirma que el resto r\,, que resulta al dividir un polinomio p(x)\, entre x-a\,, es igual a p(a) \,.

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

p(x)=q(x)c(x) + r(x)\,,

donde p(x)\, es el dividendo, q(x)\, el divisor, c(x)\, el cociente y r(x)\, el resto y verificándose además, que el grado de r(x)\, es menor que el grado de q(x)\,.

En efecto, si tomamos el divisor q(x) = x-a\, entonces r(x)\, tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

p(x)=(x-a)c(x) + r\,.

Tomando el valor x=a \!\, se obtiene que:

\frac{}{}p(a)=r

El teorema del resto nos permite calcular p(a)\, calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.

Ejemplo

Sea p(x) = x^3 - 3x^2 - 7\,.

Al dividir p(x) por x − 2 obtenemos el cociente

c(x) = x^2 - x - 2\, y el resto r = -11\,.

Podemos asegurar entonces, que p(2)=-11\,.

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que (x − a) es un factor del polinomio f(x) si y sólo si f(a) = 0.


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