Topología producto

Topología producto

Se llama topología producto a una topología construida sobre el producto cartesiano de espacios topológicos a partir de la topología de los factores. Fue introducida en 1930 por Tychonoff[1] , como la topología menos fina que convierte a las proyecciones sobre cada factor en aplicaciones continuas.

Esta topología coincide en el caso de producto de un número finito de factores con otra quizás más obvia, llamada topología de cajas, introducida previamente por Tietze[2] en 1923. Pero la topología de cajas presenta propiedades indeseables para un producto de infinitos factores: entre otras, el producto de espacios conexos no es necesariamente conexo, ni el de compactos necesariamente compacto,[3] cosas que sí suceden para la topología producto.

Por todo ello, se sobreentiende que en un producto cartesiano, salvo que se especifique lo contrario. se usa siempre la topología producto,

Contenido

Definición formal

Sea {Xα,Tα} una familia arbitraria (tal vez infinita) de espacios topológicos. Llamemos X a su producto cartesiano, i.e.

X = ∏ Xα
α

y p_\alpha : X \longrightarrow X_\alpha a la proyección sobre el factor correspondiente.

Podemos dotar a X de la topología producto, que es aquella que tiene como una subbase a los conjuntos de la forma \{p_\alpha^{-1}(U_\alpha)\} donde cada Uα es un abierto de Xα.

Base de la topología

La intersección finita de elementos de la subbase dará lugar a los elementos de la base, con distinto resultado según tratemos con un producto de un número finito o infinito de espacios

Producto de un número finito de factores

En este caso la topología producto será la que tiene por base las cajas abiertas, es decir, el producto cartesiano de abiertos

{ ∏ Uα}
α

Producto de infinitos factores

Aquí los abiertos básicos serán de la forma:

U_{\alpha _1} \times \cdots U_{\alpha _n} \times \prod \{X_\beta: \beta \neq \alpha_1, \cdots , \alpha_n \}

Esto condicionará la forma de los abiertos V de la topología producto: todo abierto debe verificar que pα(V) = Xα para todos los índices salvo para un conjunto finito, pues debe contener un abierto básico que se proyecta de esta forma.

Relación con otras propiedades topológicas

  • Separación
    • Todo producto de espacios T0 es T0
    • Todo producto de espacios T1 es T1
    • Todo producto de espacios Hausdorff es Hausdorff.
  • Compacidad
  • Conexión
    • Todo producto de espacios conexos es conexo.
    • Todo producto de espacios arcoconexos es arcoconexo.

Referencias

  1. ↑ Tychonov, A. (1930). Über die topologische Erweiterung von Räume, Math. Ann. 102, 544-561.
  2. ↑ Tietze, H. (1923). Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann. 88, 280-312.
  3. ↑ Rubiano, G. N. Topología general. Unibiblos. ISBN 958-701-108-2. (Capítulo 4)

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Topología — Para otros usos de este término, véase Topología (desambiguación). Ilustración del Teor …   Wikipedia Español

  • Topología discreta — En matemáticas, la topología discreta de un conjunto X es la topología dada por el conjunto potencia de X. Esto es, todo subconjunto de X es un conjunto abierto en la topología discreta. Un espacio que posee la topología discreta se conoce… …   Wikipedia Español

  • Producto libre de grupos — Saltar a navegación, búsqueda En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada… …   Wikipedia Español

  • Topología sin puntos — La topología sin puntos es un enfoque de la topología que evita mencionar los puntos. Un espacio topológico tradicional consiste en un conjunto de puntos , junto con un conjunto de conjuntos abiertos . Estos conjuntos abiertos forman un… …   Wikipedia Español

  • Topología del límite inferior — En matemáticas, la topología del límite inferior, llamada también en ocasiones topología de Sorgenfrey es una topología definida sobre la recta real. Al espacio topológico resultante, denotado por , se lo conoce por Recta de Sorgenfrey. Esta… …   Wikipedia Español

  • Glosario de topología — Anexo:Glosario de topología Saltar a navegación, búsqueda Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Glosario de topología — Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la topología general y en las definiciones que sean importantes para… …   Wikipedia Español

  • Base (topología) — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, una base β de un espacio topológico X con topología T, es una colección de abiertos de T que verifica que todo abierto de la topología T puede expresarse como unión de los elementos de β. Decimos que… …   Wikipedia Español

  • Variedad (matemática) — En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Tychonoff — En topología, el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. El teorema se nombró así por Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien lo probó por primera vez en 1930 para… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”