Variedad (matemática)

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede ser representada por una colección de mapas bidimensionales. La esfera es, por tanto, una variedad, en concreto, una variedad riemanniana.

Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales);

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a $\mathbb{R}^n$ . Esto nos hace pensar que una variedad está compuesta de parches n-dimensionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta.

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

Introducción

Los mapas (o cartas)

Cuando nos desplazamos por la esfera terrestre nos orientamos utilizando mapas planos reunidos en un atlas. En el límite de cada mapa figura la información necesaria para "pegar" mentalmente el mapa siguiente. Para poder hacerlo, es necesaria una cierta redundancia en la información: así, tanto el mapa de Europa como el de Asia pueden contener Moscú. De un modo similar, en matemáticas es posible describir una variedad utilizando una colección de mapas o cartas reunidos en un atlas e indicando como pasar de un mapa a otro. El globo terrestre es un ejemplo típico de variedad, pues puede ser representado por una colección de mapas geográficos.

Un mapa es una porción de la variedad análoga a un espacio vectorial; los cambios de mapa indican cómo estas porciones de variedades se acoplan entre sí. Así, para describir un círculo, es posible tomar como mapas dos arcos superpuestos.

En general no es posible describir una variedad a partir de un solo mapa, pues la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple del espacio modelo. Por ejemplo, ningún mapa plano puede describir convenientemente toda la Tierra. Las variedades aparecen como espacios topológicos y sus topologías sólo están determinadas por la situación de sus respectivos mapas.

Dimensión y topología de las variedades

Figura 2. Ejemplos de curvas : ■ círculos, ■ parábolas, ■ hipérbolas, ■ cúbicas.

La primera noción relacionada con la variedad es su dimensión. La dimensión designa el número de parámetros independientes que es necesario fijar para situar localmente a un punto sobre la variedad.

Las curvas son variedades de dimensión uno.
En una superficie, son necesarias dos coordenadas. Sobre la esfera terrestre, por ejemplo, será necesario precisar la latitud y la longitud.
Existen numerosas variedades de dimensión superior a dos. Estas variedades son representables gráficamente de manera compleja, para ello, por ejemplo se usan diagramas de Heegaard o diagramas Freedman-Kirby.

Todas las variedades con una misma dimensión n — o n-variedades — tienen la misma topología local. Así, una pequeña porción de la curva es análoga a una recta y una pequeña porción de superficie es análoga a un plano. No obstante, las variedades se distinguen por su aspecto global. Por ejemplo, en la figura 2 la variedad roja está formada por dos círculos, y resulta visiblemente imposible deformarla de manera continua para obtener una de las otras tres curvas. Del mismo modo, una esfera y un toro no se parecen topológicamente. En general, la topología global puede complicarse por la presencia de agujeros, asas, etc.

Variedad abstracta y subvariedad

Figura 4. Botella de Klein.

Existen numerosos subconjuntos del espacio tridimensional que pueden tener una estructura de variedades: el círculo, el cilindro, la esfera, la cinta de Möbius etc. Estos subconjuntos se denominan subvariedades.

Existen también las denominadas variedades abstractas, como la botella de Klein representada en la figura 4. La botella de Klein puede ser descrita por un sistema de mapas y coordenadas representado por la red de meridianos y paralelas de la figura.

El teorema de inmersión de Whitney muestra que toda variedad abstracta de dimensión n puede realizarse como subvariedad de un espacio de dimensión suficientemente grande (2n). Así, la botella de Klein no puede representarse en el espacio de tres dimensiones, pero forma una subvariedad del espacio de cuatro dimensiones.

En 1851 Bernhard Riemann ofreció la primera definición de variedad, a la que denominó Mannigfaltigkeit'

Véase también: Historia de la Geometría

Las variedades de Riemann

Bernhard Riemann fue el primer matemático que extendió sistemáticamente la noción de superficie a los objetos de mayores dimensiones, a los que llamó Mannigfaltigkeit.^[1] De este término procede el inglés manifold. Riemann ofrece una descripción intuitiva de variedad, considerando una variedad de dimensión n como un "apilamiento" continuo de variedades de dimensión n-1. En la acepción moderna de variedad, esta descripción intuitiva sólo es válida localmente, es decir, en el entorno de cada punto de la variedad. Riemann utiliza este concepto para describir el conjunto de valores de una variable sometida a ciertas restricciones, como el conjunto de los parámetros que describen la posición de una figura en el espacio.

A partir de entonces, las variedades empiezan a aplicarse en numerosos dominios. En matemáticas, se aplican al estudio de la prolongación analítica y de las variedades abelianas en análisis complejo y al estudio de los flots diferenciables con la aplicación de premier retour de Poincaré. En física, las variedades se aplican a la definición de las mecánicas hamiltoniana y lagrangiana. En 1904, al estudiar las variedades de dimensión 3, Henri Poincaré descubre uno de los problemas más célebres de la teoría de las variedades, la conjetura de Poincaré, demostrada por Grigori Perelmán y validada en junio de 2006.

A pesar de su popularidad, la noción de variedad siguió siendo borrosa. En 1912 Hermann Weyl ofreció una descripción intrínseca de las variedades diferenciables.^[2] Las publicaciones de los años 30, con ocasión de la prueba del teorema de inmersión por Hassler Whitney, dejaron bien establecido el concepto.

Ejemplo: el círculo

Figura 1.

Después de la recta real, el ejemplo más simple de variedad es la circunferencia. Existen dos maneras de introducirlo: aquí vamos a pensar en una circunferencia trazado en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$ , teniendo como coordenadas x e y. Supondremos que se trata de una circunferencia de centro (0,0) y de radio 1. Tal circunferencia está definido implícitamente por la ecuación $x 2 + y 2 = 1$ .

Primer atlas

Localmente, la circunferencia parece una línea, que tiene una sola dimensión. En otros términos, una sola coordenada es suficiente para describir un pequeño arco de circunferencia. Consideremos, por ejemplo, la parte superior de la circunferencia, para la que la coordenada y es positiva (la parte amarilla en la figura 1). Cualquier punto de esta parte pueda ser descrito por la coordenada x. Existe, por lo tanto, un homeomorfismo χ_arriba, que une la parte amarilla de la circunferencia al intervalo abierto [−1, 1] que representa cada punto de la circunferencia por su primera coordenada:

$\chi_{\mathrm{arriba}}(x,y) = x. \,$

A tal función se le denomina un mapa o carta. Del mismo modo, existen mapas para las partes inferiores (rojo), izquierda (azul) y derecha (verde) de la circunferencia. Juntas, todas ellas recubren la totalidad de la circunferencia y decimos que los cuatro mapas conforman un atlas de esa circunferencia.

Los dos mapas superior e izquierdo se superponen. Su intersección se sitúa en el cuarto de circunferencia donde las coordenadas x e y son, respectivamente, negativa y positiva. El mapa χ_arriba realiza una biyección que en (x,y) asocia x, partiendo de la zona de superposición hacia el intervalo ]-1,0[. El mapa χ_izquierda por el que (x,y) da y asocia a esta misma zona de superposición el intervalo ]0;1[. De este modo, es posible crear una función T del intervalo ]-1,0[ hacia ]0,1[ :

$T_{\mathrm{arriba}\rightarrow\mathrm{izquierda}}(x) = \chi_{\mathrm{izquierda}}\left(\chi_{\mathrm{arriba}}^{-1}(x)\right) = \chi_{\mathrm{izquierda}}\left(x, \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}.$

Tal función se llama aplicación de cambio de mapa, de cambio de cartas o simplemente de transición. Permite pasar del sistema de coordenadas x elegido para el primer mapa al sistema de coordenadas y elegido para el segundo.

Segundo atlas

La aplicación pendiente forma un mapa que describe todos los puntos de la circunferencia excepto uno.

Los mapas superior, inferior, derecho e izquierdo muestran que la circunferencia es una variedad, pero no conforman el único atlas posible. Los mapas no tienen por qué ser proyecciones geométricas y su número es prácticamente arbitrario.

He aquí otro ejemplo de descripción de una circunferencia. Si tomamos como punto de base el punto de coordenadas (-1, 0) y trazamos diferentes rectas desde ese punto; la recta derecha de pendiente s corta a la circunferencia en un punto único. La correspondencia entre entre la pendiente de la derecha y las coordenadas de un punto de intersección es en un sentido:

$\chi_{\mathrm{menos}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}$ ;

y en el otro:

$x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}};$ .

Este primer mapa describe todos los puntos de la circunferencia excepto el punto de base.

Para construir el segundo mapa hacemos una simetría tomando como punto de base (+1, 0) y como pendiente -t con:

$\chi_{\mathrm{mas}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}$ .

Estos dos mapas proporcionan un segundo atlas de la circunferencia, teniendo por aplicación de cambio de mapa

$t = {1\over s}=\varphi(s)$ .

Cada mapa omite un solo punto, sea (−1,0) para s o (+1,0) para t, de modo que ningún mapa solo puede describir completamente la circunferencia.

Conclusión

Hemos visto que los dos atlas presentados son compatibles, es decir, que agrupando los cuatro mapas del primero y los dos del segundo, obtenemos un nuevo atlas, todavía más redundante. Cada uno de ellos, así como el atlas global, definen la misma noción de orientación (repérage) por mapa y coordenadas locales, es decir, la misma estructura de variedad. Más adelante, se mostrará cómo el resultado de la ecuación $x 2 + y 2 = 1$ permite también crear sistemas de mapas locales adaptados.

A partir de estos ejemplos, podemos comprobar la flexibilidad que nos permite la utilización de mapas: disponemos de una variedad infinita de atlas compatibles sobre la circunferencia. Nuestra elección dependerá de la geometría del problema estudiado. Sin embargo, podemos demostrar topológicamente que un solo mapa no podrá jamás cubrir la totalidad de la circunferencia.

Clases de variedades

Figura 5. La lemniscata (con la topología heredada del plano) no es una variedad, pues en el entorno del punto doble se parece a una cruz.

existe en diversas variantes, utilizadas según el dominio particular considerado:

variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales. En ellas se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; se utilizan en la teoría de los grupos de Lie, el cálculo diferencial sobre espacios topológicos más generales (que se utilizan por ejemplo en mecánica);
variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como raíces de polinomios de varias variables generalmente complejas;
variedades aritméticas: son casos particulares de variedades algebraicas, más especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teoría de números. El cuerpo de referencia es el de los números racionales, o una de sus extensiones.

Variedades topológicas

Artículo principal: Variedad topológica

Las variedades más sencillas de definir son las variedades topológicas, pues se parecen localmente a un espacio euclídeo ordinario Rⁿ. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico en que cada punto tiene un entorno homemorfo a un abierto de Rⁿ. Estos homeomorfismos son las cartas o mapas de la variedad.

Variedades diferenciables

Artículo principal: Variedad diferenciable

Una esfera, ejemplo de variedad diferenciable.

Las variedades diferenciables conforman una subclase especial de las variedades topológicas. Si las cartas locales en una variedad son aplicaciones diferenciables en el espacio de coordenadas, entonces podemos definir funciones diferenciables en esa variedad y un espacio tangente en cada punto. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. La esfera bidimensional es un ejemplo clásico de variedad diferenciable.

Variedades riemannianas

Artículo principal: Variedad riemanniana

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la cual cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente de punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

Grupos de Lie

Artículo principal: Grupo de Lie

Informalmente, un grupo de Lie es un grupo continuo, es decir, un grupo en el que tanto sus elementos como la operación varían continuamente. Un ejemplo típico es el grupo de rotaciones del plano alrededor de un punto. Esta idea se usa en contraposición a la de grupo "abstracto" o "algebraico", en cuyo estudio prima más los aspectos operacionales que los geométricos.

Por ejemplo, el espacio euclídeo $\mathbb R^n$ con la operación de adición de vectores, o el conjunto de matrices reales nxn con determinante 1 son grupos de Lie. El primero se interpreta geométricamente como un grupo traslaciones; el segundo, transformaciones lineales que conservan el volumen.

Formalmente, un grupo de Lie $G$ es una variedad diferenciable real o compleja provista de una estructura de grupo, debiendo ser las operaciones sobre tal grupo igualmente diferenciables u holomorfas.

Otros tipos de variedades

Una variedad compleja es una variedad modelada sobre Cⁿ con funciones de transición holomorfas. Estas variedades son los objetos básicos de estudio en geometría compleja. Una variedad compleja de dimensión compleja uno se llama superficie de Riemann. Notemos que una variedad compleja de dimensión n tendrá dimensión 2n considerada como variedad diferenciable real.
Variedades de dimensión infinita: para permitir el uso de infinitas dimensiones podemos considerar las variedades de Banach, que son localmente homeomorfas a un espacio de Banach. Otra posibilidad son las variedades de Fréchet, localmente homeomorfas a espacios de Fréchet.
Una variedad simpléctica es una clase de variedad usada para representar los espacios de fases en Mecánica Clásica. Para ello, están dotadas con una 2-forma que permite definir el corchete de Poisson. Muy relacionadas con este tipo de variedades están las variedades de contacto.

Construcción de variedades

Los modos de construcción de variedades maś usuales son:

El producto cartesiano, que permite acceder a variedades de dimensiones superiores;
El pegado de variedades, que permite complejizar la topología de las variedades conservando su dimensión;
El cociente de variedades, que permite también complejizar la topología de las variedades, pero que en ocasiones implica una pérdida de dimensiones.

Producto de variedades

Un cilindro finito es una variedad con borde.

El producto cartesiano de dos o más variedades es también una variedad. La dimensión de la variedad producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología producto, y un producto cartesiano de cartas es una carta para la variedad producto. Si los atlas utilizados definen una estructura diferenciable en los factores, el atlas producto define una estructura diferenciable en la variedad producto. Si uno de los factores tiene borde, la variedad producto también tendrá borde.

Los productos cartesianos pueden utilizarse para constuir toros y cilindros finitos: S¹ × S¹ y S¹ × [0, 1], respectivamente.

Pegado de variedades

Artículo principal: Suma conexa

Para realizar este procedimiento denominado suma conexa necesitamos dos variedades de la misma dimensión, de las que recortaremos una bola abierta. Este proceso dejará en cada variedad una frontera (la de la bola eliminada) que procederemos a identificar por medio de un homeomorfismo arbitrario.

Pegado de variedades por los bordes

En el procedimiento de suma conexa debemos crear artificialmente fronteras para después identificarlas. Si las variedades son variedades con borde, podremos identificar sus fronteras sin necesidad de crearlas previamente.

En principio, la definición de variedades prohíbe la presencia de bordes o fronteras, como un disco plano cerrado, por ejemplo. Sin embargo, es posible definir una noción de variedad con borde aceptando cartas que tengan por dominio abiertos de $\R^{n-1}\times \R_+^*$ . De este modo, el borde de una variedad así definida será una variedad de dimensión n-1. Así, una bola cerrada es una 3-variedad con borde que tiene por borde una 2-variedad, la esfera.

Cociente de variedades

Un ejemplo de cociente son los espacios homogéneos. Supongamos que G es un grupo de Lie y H es un subgrupo cerrado. Entonces el cociente G/H (donde identificamos dos puntos de G si se puede pasar de uno a otro trasladándolos por algún elemento de H ), es una variedad.

Propiedades invariantes

Artículo principal: invariante

La Cinta de Möbius es un ejemplo de variedad no orientable. Es una superficie con una sola cara y un solo borde.

A diferencia de las curvas y las superficies, las variedades de dimensiones más altas no pueden ser comprendidas mediante la intuición espacial. En estos casos es muy difícil decidir si dos descripciones de una variedad se refieren a un mismo objeto. De ahí que se hayan desarrollado conceptos y criterios para describir los aspectos geométricos y topológicos intrínsecos a las variedades de más de tres dimensiones. Estos criterios se denominan invariantes, pues son los mismos en todas las descripciones posibles de una variedad dada. De este modo, podemos distinguir dos variedades si difieren en alguna propiedad invariante.

Existen propiedades invariantes locales y globales: las invariantes locales sirven para caracterizar a las variedades a las escalas más pequeñas; las invariantes globales tienen en cuenta la estructura espacial global de la variedad.

Las propiedades invariantes han sido caracterizadas por distintas ramas de la topología:

En topología general o conjuntista encontramos la propiedad de Hausdorff o la dimensión. La propiedad de ser compacto, paracompacto o la conectividad son propiedades globales fundamentales, hasta el punto de que muchos matemáticos las incluyen en la propia definición de variedad.
La topología algebraica es fuente de numerosas invariantes globales como el grupo fundamental o la orientabilidad. Varias ramas de las matemáticas como la teoría de homología y la teoría de las clases características se desarrollaron con el objetivo de estudiar las propiedades invariantes de las variedades.

Si una variedad está dotada de una estructura geométrica más rica, entonces suele tener propiedades invariantes locales. La curvatura de una variedad de Riemann, por ejemplo, es un invariante local.

Orientabilidad

En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante de invarianza es la cuestión de si tal variedad admite una orientación significativa. Consideremos una variedad topológica cuyas cartas mapean a Rⁿ. Dada una base ordenada para Rⁿ, una carta hace que el fragmento de la variedad a la que va referida adquiera orientación en el que las 3-dimensiones pueden verse como orientadas a la derecha o a la izquierda. Las cartas superpuestas no tienen porqué coincidir en su orientación, lo que da a las variedades una gran libertad. Para algunas variedades, como la esfera, pueden elegirse cartas de manera que las regiones superpuestas estén de acuerdo en su orientación (derecha o izquierda); estas variedades se denominan variedades orientables. Para otras, es imposible. Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables son la cinta de Möbius, una variedad con borde, la botella de Klein, que se interseca a sí misma en un espacio de 3 dimensiones o el plano proyectivo real.

Género y la característica de Euler

Artículo principal: Característica de Euler

Una taza sólida transformándose en un toro sólido $D^2\times S^1$

Para las variedades de 2 dimensiones el género (el número de asas en una superficie) es una invariante clave: un toro es una esfera con un asa, un doble toro es una esfera con dos asas, etc. De hecho, es posible caracterizar completamente una variedad compacta de dos dimensiones por su género y su orientabilidad. En las variedades de dimensiones más altas, el género es reemplazado por la característica de Euler.

Generalización

La categoría de las variedades (indefinidamente) diferenciables con morfismos (indefinidamente) diferenciables carece de ciertas propiedades deseables, y se ha tratado de generalizar las variedades (indefinidamente) diferenciables para corregir esto. Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas). Espacio diferenciable y Espacio de Frölicher son otros intentos.

Aplicaciones de las variedades

En matemáticas

Existen numerosas aplicaciones de las variedades en matemáticas. El análisis real clásico y el análisis funcional han extendido su campo de investigación de los espacios vectoriales topológicos a las variedades. Del mismo modo, los procesos estocásticos como el movimiento browniano se extienden de los espacios reales de dimensión finita a las variedades. Asimismo, las variedades aparecen episódicamente en estadística. Por otro lado, muchos conjuntos interesantes tienen al mismo tiempo una estructura algebraica y una estructura de variedad compatibles. Es el caso del conjunto de las rotaciones en un espacio de 3 dimensiones, que forma una 3-variedad y un grupo. La teoría de los grupos de Lie estudia estas variedades con propiedades algebraicas. La teoría de los espacios homogéneos estudia sus acciones transitivas.

En física

El doble péndulo y su espacio de configuración: el toro
La posición del péndulo doble se describe por dos parámetros angulares.	La posición de un punto sobre el toro.

Notas y referencias

Notas

↑ Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, tesis de doctorado de 1851 y Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liege tesis de habilitación de 1854
↑ Hermann Weyl, The concept of a Riemann surface, Addison Wesley, édition de 1955

Referencias

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Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer-Verlag, New York (2000), ISBN 0-387-98759-2. Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3.
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Spivak, Michael, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (1965), ISBN 0-8053-9021-9.
Munkres, James R., "Topología" PEARSON EDUCACIÓN S.A.,(2ªedición) ISBN: 84-205-3180-4 (en español)

Véase también

Conjetura de Poincaré.

Matemáticos

Geómetras que estudiaron la topología de variedades:

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