Totalmente acotado

Totalmente acotado

Un espacio métrico (X,d) se dirá totalmente acotado si y solamente si cumple la siguiente propiedad:

\forall r>0, \exists x_1,...x_k \in X tal que \cup_{i=1}^k B(x_i,r) \supseteq X

Se cumple que todo espacio totalmente acotado es también acotado. Además, todo compacto es totalmente acotado. Esta propiedad es útil precisamente para demostrar compacidad, pues se tiene que existe equivalencia entre ser compacto y ser totalmente acotado y completo. De hecho, para muchas demostraciones es precisamente ésta caracterización de compacidad la que se utiliza.


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