Ángulo

Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.^[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Contenido

1 Definiciones
- 1.1 Definiciones clásicas
2 Las unidades de medida de ángulos
3 Clasificación de ángulos
- 3.1 Ángulos convexo y cóncavo
4 Ángulos relacionados
5 Ángulos de un polígono
6 Ángulos respecto de una circunferencia
7 Trisección del ángulo
8 Ángulos tridimensionales
- 8.1 Coordenadas angulares tridimensionales
9 Ángulos en un espacio vectorial
10 Galería de ángulos
11 Véase también
12 Referencias
13 Enlaces externos

Definiciones

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):^[1]

Tipo	Descripción
Ángulo convexo o saliente	Es el que mide menos de $\pi\,$ rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante	Es el que mide más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,
ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,
ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

Artículo principal: Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores $\langle\cdot,\cdot\rangle$ , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos $x$ e $y$ mediante la expresión:
$\angle(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|},$
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo $( - 1,1)$ debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo $[0,π]$ (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados $x$ e $y$ no nulos,
$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\cdot\|y\|\cdot\cos\angle(x,y)$

Galería de ángulos


$0^{\circ} \,$	$15^{\circ} \,$	$30^{\circ} \,$	$45^{\circ} \,$	$60^{\circ} \,$	$75^{\circ} \,$

$90^{\circ} \,$	$105^{\circ} \,$	$120^{\circ} \,$	$135^{\circ} \,$	$150^{\circ} \,$	$165^{\circ} \,$

$180^{\circ} \,$	$195^{\circ} \,$	$210^{\circ} \,$	$225^{\circ} \,$	$240^{\circ} \,$	$255^{\circ} \,$

$270^{\circ} \,$	$285^{\circ} \,$	$300^{\circ} \,$	$315^{\circ} \,$	$330^{\circ} \,$	$345^{\circ} \,$

$360^{\circ} \,$

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b «Ángulos». descartes.cnice.mec.es. Consultado el 17 de octubre de 2010.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ángulos. Commons
Weisstein, Eric W. «Ángulo» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Categorías:

Magnitudes físicas
Ángulos

Wikimedia foundation. 2010.

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Sinónimos:

arista, canto, punta, codo, chaflán, esquina, recodo, recoveco, rincón

Mira otros diccionarios:

ángulo — (Del lat. angŭlus, del gr. ἀγκύλος, encorvado). 1. m. Geom. Figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto; o también la formada en el espacio por dos superficies que parten de una misma línea. 2. rincón… … Diccionario de la lengua española
ángulo — sustantivo masculino 1. Área: geometría, geometría, geometría, óptica, geometría, geometría, geometría Figura geométrica formada por dos radios que salen de un punto común o por dos planos que salen de una línea común: un ángulo de 90º (grados),… … Diccionario Salamanca de la Lengua Española
Angulo — (de Angulo, De Angulo) is a surname, and may refer to: Alberto Angulo Alfredo Angulo Brayan Angulo Carlos Angulo Carlos José Iturgaiz Angulo Gilbert de Angulo Guillermo Billinghurst Angulo Jaime de Angulo Jocelyn de Angulo Lucio Angulo Luis… … Wikipedia
Angulo — ist der Familienname folgender Personen: Alberto Angulo (* 1970), spanischer Basketballspieler Alfredo Angulo (* 1982), mexikanischer Boxer Brayan Angulo (* 1989), kolumbianischer Fußballspieler Carmelo Angulo (* 1980), bolivianischer… … Deutsch Wikipedia
ângulo — s. m. 1. Espaço entre dois planos ou duas linhas que se encontram ou se cortam. 2. [Geometria] Figura formada por duas semi retas com o vértice como origem comum. 3. [Geometria] Medida de afastamento dessas duas semi retas. 4. Local onde se… … Dicionário da Língua Portuguesa
ángulo Q — ángulo formado entre el músculo cuádriceps y la rótula. El ángulo Q determina el desplazamiento de la rótula a través de la tróclea del fémur. A medida que el ángulo aumenta, se incrementan las posibilidades de problemas derivados de la… … Diccionario médico
angulo Y — ángulo entre el radius fixus y la línea que une el lambda con el inión Diccionario ilustrado de Términos Médicos.. Alvaro Galiano. 2010 … Diccionario médico
ángulo — Espacio entre dos líneas o espacios que se cortan Diccionario ilustrado de Términos Médicos.. Alvaro Galiano. 2010. ángulo 1. espacio formado por la intersección de dos líneas, planos o bordes. La … Diccionario médico
ángulo Y — ángulo entre el radius fixus y la línea que une el lambda con el inión. Diccionario ilustrado de Términos Médicos.. Alvaro Galiano. 2010 … Diccionario médico
Ángulo — (Del lat. angulus, rincón.) ► sustantivo masculino 1 GEOMETRÍA Porción de plano o espacio limitado por dos rectas o por dos planos que se cortan. 2 Encuentro de dos paredes o superficies: ■ en el ángulo oscuro del salón instaló una anaquelería.… … Enciclopedia Universal

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Ángulo

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