Transformada de Fourier

Transformada de Fourier
Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación).

En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

g(\xi ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx

Donde f es \displaystyle{ L^{1}} , o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

\mathcal{F}[f], \hat f, F(f), \mathcal{F} \{ f \}.

Contenido

Definición

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal

Sea f una función Lebesgue integrable:

f \in L^1(\mathbb{R}) o f \in L^1(\mathbb{C})

La transformada de Fourier de f es la función

\mathcal{F} \{ f \} \ \ : \xi \mapsto \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx,

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

\mathcal{F}\{ a\cdot f+b \cdot g \} =a \, \mathcal{F}\{ f \} + b \, \mathcal{F}\{ g \}.

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

  • Cambio de escala:
\mathcal{F} \{ f(at) \}(\xi) = \frac{1}{|a|} \cdot \mathcal{F} \{ f \} \bigg(\frac{\xi}{a}\bigg)
  • Traslación:
\mathcal{F} \{ f(t-a) \} (\xi)=e^{-i\xi a} \cdot \mathcal{F} \{ f \} (\xi)
  • Traslación en la variable transformada:
\mathcal{F}\{ f \} (\xi-a)= \mathcal{F} \{ e^{iat} f(t) \} (\xi)
  • Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,
\mathcal F \{ f' \} (\xi) = i\xi \cdot \mathcal{F} \{ f \}(\xi)
  • Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable
\mathcal{F}\{ f \}' (\xi) = \mathcal{F} \{ (-it) \cdot f(t) \}(\xi)

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

(f * g)(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \cdot g(x - y) \, dy.

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

\mathcal{F}\{ f*g \} = \mathcal{F} \{ f \} \cdot \mathcal{F} \{ g \}

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

\mathcal{F} \{ f \cdot g \} =\mathcal{F}\{ f \}*\mathcal{F}\{ g \}.

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

Tabla de transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de \textstyle \frac{1}\sqrt{2\pi}, siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de \textstyle \frac{1}{2\pi} en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Función Transformada
\delta(t) \! 1 \!
u(t) \! (Función unitaria de Heaviside) 1/2(\delta(f)+1/(i\pi f)) \!
\sin (w_0 t) \! \frac{\pi}{i}[\delta(w-w_0)-\delta(w+w_0)] \!
\cos (w_0 t) \! \pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] \!
1 \! 2\pi\delta(f) = \delta(w) \!
e^{-at}u(t), \quad \mathrm{Re}(a) >0 \! \frac{1}{a+iw} \!
e^{-a|t|}, \! \frac{2a}{a^2+w^2} \!
te^{-at}u(t), \quad \mathrm{Re}(a)>0 \! \frac{1}{(a+iw)^{2}} \!
\begin{cases} \cos w_0x & |x|\le A \\ 0 & |x| > A \end{cases} \frac{\sin A(w-w_0)}{2\pi(w-w_0)} + \frac{\sin A(w+w_0)}{2\pi(w+w_0)}
x(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }|t|<T_1 \\ 0, & \mbox{si }|t|>T_1 \end{cases} \! \mathrm{sinc}\left(\frac{wT_1}{\pi}\right) = 2 \frac{\sin(wT_1)}{w}
x(t) = \mathrm{tri}\left(\frac{t}{2T_1}\right) = \begin{cases} 1-\frac{|t|}{T_1}, & \mbox{si }|t|<T_1 \\ 0, & \mbox{si }|t|>T_1 \end{cases} \! \mathrm{sinc}^{2}\left(\frac{wT_1}{\pi}\right)
x(t) = e^{-x^2/a^2}, \quad \mathrm{Im}(a)= 0 \! a\sqrt{\pi} e^{-a^2 w^2/4}

Teorema de inversión

La idea del teorema de inversión es que dada una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:

(1) \quad \check{\hat{f}} = f \quad

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:

Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función f en este espacio, vale el teorema de inversión (1).

Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en R e infinitamente diferenciables tales que para todo m, n enteros no negativos

\sup_{x \in \mathbb{R}} |x^m \varphi^{(n)}(x)| < \infty,

donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo \mathcal{S} .

Teorema

Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{S}.

Además vale la fórmula de inversión:

\check{\hat{f}} = f, \quad f \in \mathcal{S}.

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

[T\varphi](x) = \sum_{k=0}^m P_k(x) \bigg(\frac{d}{dx}\bigg)^n \varphi(x).

donde Pk son polinomios.

Debido a las propiedades

\mathcal{F} \{ \frac{d \varphi}{dx} \} (\xi) = i\xi \cdot \mathcal{F} \{ \varphi \} (\xi) \quad

y

\mathcal{F} \{-ix \cdot \varphi(x) \} (\xi) = \frac{d}{d\xi} \bigg ( \mathcal{F}\{ \varphi \} (\xi) \bigg ) ,

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.

Propiedades de homomorfismo

Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

  1. Si g(x) = f(x − y) entonces \hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)
  2. La transformada de Fourier es un morfismo:

\widehat{(f*g)} (k)=\hat f(k) \cdot \hat g(k)

Es decir, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

Uso en Ingeniería

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia una señal para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Interpretación geométrica

Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:

\langle f(x),g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) * g(x) dx \quad

la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función x(t) y la exponencial compleja e^{i2\pi\,ft} evaluado sobre todo el rango de frecuencias f. Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene x(t) con una exponencial compleja.

Véase también

Enlaces externos


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