Numeros de la forma: 100...001

Numeros de la forma: 100...001

Los números de la forma 100...001 se definen matemáticamente como 10^n +1 = 100...001 \qquad\mbox{para }n\ge1. de este modo para los distintos valores de \qquad\mbox{n} se consigue una secuencia con un 1 al principio y otro al final y en medio una secuencia de \qquad\mbox{n-1} ceros. La secuencia seria de la siguiente forma:  11, 101, 1001, 10001, 100001,...

Contenido

Características

Estos números tienen la característica de que al ser multiplicados por algún número cualquiera ese mismo número es repetido al principio y al final (siendo un número de n-1\, cifras) ,así por ejemplo:

1001\times567=567567\,

Debido a esa característica estarían relacionados con todos los repunit (R_n\,) pares por ejemplo:

1001\times111=111111 (R_6)\,

Factorización

La factorización de estos números surgen a partir del Proyecto de Cunningham, que consiste en la factorización de números de la forma b^n \pm 1\, para b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 y exponentes enteros grandes n, en este caso b= 10. Sobre el proyecto de factorizar los números de la forma 10^n + 1 \, que es nuestro caso ya se factorizado las potencias consecutivas desde n = 1 hasta n= 50000[1] de las cuales muchos aun esta por verificar si sus factores son primos.

Divisibilidad

Según la forma y la de los factores primos obtenidos de las listas anteriores se pueden sugerir las siguientes pautas de divisibilidad:

  • 10^n +1 \mid 11 \qquad \forall n=2a-1\qquad \mbox{donde } a>0 \land a\in\mathbb{N} \,

Demostración:

\exist 9090...9091\qquad \mbox{tal que : } 9090...9091\times 11 = 100...001

Por ejemplo:

  • Para n = 1 91\times 11 = 1001
  • Para n = 3 9091\times 11 = 100001
  • Para n = 5 909091\times 11 = 10000001
  • Para n = 7 90909091\times 11 = 1000000001

Generalizando:

\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} & & & 9 & 0 & 9 & 0 & . & . & . & 9 & 0 & 9 & 1 \\ \times& & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ \hline & & & 9 & 0 & 9 & 0 & . & . & . & 9 & 0 & 9 & 1 \\ & & 9 & 0 & 9 & 0 & . & . & . & 9 & 0 & 9 & 1 & \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . & . & . & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}

Del mismo modo se demuestra que:

  • 10^n +1 \mid 7 \ \ \qquad \forall n=3p^a \qquad \ \ \mbox{donde } a\ge0 , p>2 \land a\in\mathbb{N},p\in\mathbb{P} \,
  • 10^n +1 \mid 11^2 \qquad \forall n=11(2a-1)\qquad \mbox{donde } a>0 \land a\in\mathbb{N} \,
  • 10^n +1 \mid 13 \qquad \forall n=3p^a\qquad \ \ \mbox{donde } a\ge0 , p>2 \land a\in\mathbb{N},p\in\mathbb{P} \,
  • 10^n +1 \mid 19 \qquad \forall n=3^a p \ \ \qquad \mbox{donde } a>0 , p>2 \land a\in\mathbb{N},p\in\mathbb{P} \,
  • ...Y así para varios factores primos.

Relación con los números primos

Los dos primeros números de esta secuencia:  11, 101 son primos, y además se puede conjeturar que:

{10^p+1\over11} \ \in \mathbb{P} para ciertos valores p\in \mathbb{P}, como p = 2,5,7,19,31,53,67,293,....

Ejemplos:

  • Para p = 2 => {10^2+1\over11} = 101 \in \mathbb{P}
  • Para p = 5 => {10^5+1\over11} = 9091 \in \mathbb{P}
  • Para p = 7 => {10^7+1\over11} = 909091 \in \mathbb{P}
  • Para p = 19 => {10^{19} +1\over11} = 909090909090909091 \in \mathbb{P}
  • Para p = 31 => {10^{31} +1\over11} = 909090909090909090909090909091 \in \mathbb{P}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Factorizations of 100...001;STUDIO KAMADA

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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