Polinomio todo en uno

Polinomio todo en uno

Polinomio todo en uno

Un polinomio todo en uno (AOP, All-in-One-Polynom) es un polinomio usado en campo finitos, especificalmente GF(2) (binario). El AOP es un 1-polinomio igualmente espaciado.

Un AOP de grado m tiene todos los términos del xm al x0 con coeficientes 1, y puede escribirse:

AOP(x) = \sum_{i=0}^{m} x^i

o

AOP(x) = x^m + x^{m-1} + \cdots + x + 1

o

AOP_m(x) = \frac{x^{m+1} - 1}{x-1}

así las raíces de polinomios todos en uno son todas raíces de la unidad.

Propiedades

Sobre GF(2) el AOP posee varias propiedades interesantes, incluyendo:

A pesar del hecho que la distancia de Hamming sea grande, debido a la fácil representación y otras mejorías existen implementaciones eficientes en áreas tales como teoría de códigos y en criptografía.

Sobre \mathbb{Q}, el AOP es irreducible cuando m + 1 es primo p, y por ende en esos casos, el p-ésimo polinomio ciclotómico.

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Wikimedia foundation. 2010.

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