Función simétrica monomial

Función simétrica monomial: Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ es una partición, se construye el monomio

$x^\lambda = x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}$ .

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de $λ$ , da como resultado un polinomio simétrico denotado $m_\lambda\,$ .

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición $\lambda\vdash n$ es la suma

$m_\lambda=\sum_\sigma x^\sigma\,$ ,

donde $σ$ recorre todas las permutaciones distintas de $λ$ .

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

$m_\emptyset = 1$ .

$m_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4\,$ .

$m_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ .

$m_{11} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4 + x_3x_4\,$ .

$m_3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 +x_4^3$ .

$m_{21} = x_1^2x_2 + x_2^2x_1^1 + x_1^2x_3 + x_3^2x_1 + x_1^2x_4 +x_4^2x_1 + x_2^2x_3 + x_3^2x_2 + x_2^2x_4 + x_4^2x_2 + x_3^2x_4+x_4^2x_3$ .

Obsérvese que en $m 11$ sólo aparece $x 1 x 3$ y no $x 3 x 1$ , porque ambas corresponden a la misma permutación $(1010)$ de la partición $(1100)$ . En particular, se consideran todas las particiones de un entero $n$ como si tuvieran $n$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_\sigma x^\sigma$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{\lambda} m_\lambda$ ,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

$\{ m_\lambda : \lambda \vdash n \}$

forma una base del espacio vectorial $Λ n$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial $Λ n$ sobre $\mathbb{Q}$ de funciones simétricas en n variables es igual al número $p (n)$ de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.

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