Partición (teoría de números)

Partición (teoría de números)
Diagramas de Young mostrando el número de particiones de los enteros del 1 al 8. Se asignan diferentes colores a cada entero. Por ejemplo, en verde, observamos que hay 5 particiones de 4.

En matemáticas discretas, una partición de un entero positivo n es una forma de descomponer n como suma de enteros positivos. Dos sumas se considerarán iguales si solo difieren en el orden de los sumandos.

De modo más riguroso, una partición de un número entero positivo n es una secuencia de enteros positivos (λ1,λ2,...,λm) tal que

\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ...\geq \lambda_m ~~\mathrm{y}~~ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_m = n .

Las posibles particiones de un entero n pueden visualizarse con los diagramas conocidos como diagramas de Ferrers o diagramas de Young.

Contenido

Ejemplos

Las cinco particiones de 4 serían:

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

Y las once particiones de 6 son:

6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 =
= 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Función de partición

La función de partición p(n) representa el número p de posibles particiones de un número entero positivo n; así, p(4) = 5 y p(6) = 11. Por convenio, se define p(0) = 1, p(n) = 0 para n negativo. Los valores de esta función forman la (sucesión A000041 en OEIS).

Los valores de p(n) crecen muy rápidamente con el valor de n. De hecho

  • p(100) = 190,569,292
  • p(200) = 3,972,999,029,388
  • p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 1031

Una expresión asintótica de p(n) fue obtenida por G. H. Hardy y Ramanujan en 1918 y de forma independiente por J. V. Uspensky en 1920:

p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {2n/3}\right) } {4n\sqrt{3}} \mbox { cuando } n\rightarrow \infty.

Ken Ono habría encontrado en 2010 una fórmula exacta

Referencias

  • Tom M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Reverté, 1984. ISBN 84-291-5006-4, 9788429150063. pg 382

Enlaces externos


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