Funtor exacto

En álgebra homológica, un funtor exacto es un funtor de una categoría abeliana a otra que preserva sucesiones exactas.

Definición formal

Sea A y C categorías abelianas y sea :F: A→C un funtor, sea :0→A→B→C→0 una sucesión exacta corta de objetos de A entonces F es exacto si 0→F(C)→F(B)→F(A)→0 es de nuevo una sucesión exacta.

Otras definiciones relativas a el funtor F son:

• semi-exacto si F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• exacto izquierdo si 0→F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• exacto derecho si F(A)→F(B)→F(C)→0 es una sucesión exacta.

• De hecho no es necesario empezar siempre con una sucesión exacta para garantizar ciertas propiedades del funtor F, se demuestra que son equivalente las siguientes definiciones.

• F es un funtor exacto si A→B→C es una sucesión exacta entonces F(A)→F(B)→F(C) es una sucesión exacta.
• F es un funtor exacto izquierdo si 0→A→B→C es una sucesión exacta enntonces 0→F(A)→F(B)→F(C) es una sucesion exacta.
• F es un funtor exacto derecho si A→B→C→0 es una sucesión exacta entonces F(A)→F(B)→F(C)→0 es una sucesión exacta.

Ejemplos

• El ejemplo más importante de funtor exacto izquierdo es el funtor Hom. Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A entonces F_A(X) = Hom_A(A,X) es un funtor de A en Ab (la categoría de grupos abelianos este funtor es un funtor exacto izquierdo F es exacto si y solo si A es proyectivo. El funtor G_A(X) = Hom_A(X,A) es un funtor de A^op en Ab también es un funtor exacto derecho y es exacto si y solo si A es inyectivo.

• Si K es un campo y V es un espacio vectorial sobre K sea V* = Hom_k(V,k), con lo que obtenemos un funtor exacto de la categoría de K-Vec (la categoría de espacios vectoriales en sí misma. (la exactitud se debe a que K es un espacio vectorial inyectivo). De forma alterna uno puede argumentar que toda sucesión exacta corta de K-espacios vectoriales se factoriza y que cualquier funtor aditivo envía sucesiones factorizadas en sucesiones factorizadas).

• Si X es una espacio topológico, podemos considerar la categoría de gavillas de grupos abelianos en X. El funtor que asocia a cada gavilla G el grupo de secciones globales G(X) es exacto izquierdo.

• Si R es un anillo y M es un R módulo, podemos definir un funtor H_T de la categoría de módulos R-Mod a la categoría de grupos abelianos Ab usando el producto tensorial sobre R: 'H_T(X) = T ⊗ X. Esto nos da un funtor exacto derecho de la categoría de R-Mod en Ab. Es exacto si y solo si T es plano.

Si A y B son dos categorías abelianas, podemos considerar la categoría de funtores B^A cuyos objetos son funtores de A en B y los morfismos entre dos objetos son transformaciones naturales entonces tenemos un funtor E_A de B^A a B evaluando funtores en A. Este funtor 'E_A es exacto.

Algunos hechos

Un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto izquierdo si y solo si lleva límites finitos en límites. Análogamente un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto derecho si y solo si lleva colimites finitos en colimites.

El grado con el cual un funtor exacto izquierdo falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados derechos y el grado con el cual un funtor exacto derecho falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados izquierdos.

Existe un teorema que nos asegura que si F y G son funtores y F es adjunto izquierdo de G entonces F es exacto derecho y G es exacto izquierdo.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd edición). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.