Axioma de unión

Axioma de unión

Axioma de unión

El axioma de unión, uno de los axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel, establece que, dada cualquier colección (conjunto) de conjuntos C, existe un conjunto, representado por \bigcup C y llamado unión de C, que contiene todos los elementos de cada conjunto de C. Esto es,

\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ \exists z(z\in x\wedge a\in z)).

Consecuencias del axioma de pares en ZF

Si A es una colección de conjuntos, entonces la unión \bigcup A contiene aquellos y solo aquellos elementos que están en algún conjunto de A. Si A=\{x_1,x_2\ldots x_n\}, un conjunto con n elementos, entonces es común escribir

x_1\cup\ x_2\cup\cdots\cup x_n

para representar la unión de los conjuntos de A. Es fácil ver que

a\in x\cup y\ \leftrightarrow\ a\in x\vee a\in y ,

de modo que el axioma de unión y el axioma de pares garantizan la existencia del conjunto x\cup y=\{a\mid a\in x\vee a\in y\} para cualesquiera conjuntos x e y, un hecho que no puede deducirse simplemente del esquema de especificación junto con los axiomas restantes. A diferencia de la unión, la intersección de conjuntos es deducible a partir del axioma de pares y el esquema de especificación. Efectivamente, pues se define el conjunto x\cap y mediante

a\in x\cap y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge a\in y,

y por tanto x\cap y existe. Más general, se define el conjunto

\bigcap A=\{a\mid \forall y(y\in A\ \rightarrow\ a\in y\}.
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