En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición

Célula

En Topología se denomina célula a un espacio topológico e que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún (i, e., un entero no-negativo n, considerando que , es decir, consideramos que 0 es un posible valor de n) de manera que (donde representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que e es una n-célula, y que la dimensión de e es n (denotado por | e | : = dim(e) = n). En principio esta dimensión no tiene nada que ver con la dimensión algebraica (la dimensión de espacios vectoriales).

Descomposición celular

Sea X un espacio topológico. Se dice que el par es una descomposición celular de X si es una partición de X en células, es decir, cada elemento de es una célula, X es la unión de todos los elementos de y dos elementos distintos de son disjuntos (si y , entonces ).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo n una descomposición celular de X, se denomina conjunto de n-células a la unión de todas las células de dimensión n (es decir, a ). Se denomina así mismo n-esqueleto al conjunto , es decir, a la unión de los conjuntos de m-células, cuando .

Si existiese algún de forma que X = Xⁿ, diremos que X tiene dimensión finita. En ese caso, al menor de forma que X = Xⁿ se le denomina dimensión de X (n = dim(X)). En caso contrario (es decir, si X no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de X es infinita (). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si X es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea una descomposición celular. Se dice que es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que es una CW-descomposición de X, o que es una descomposición de tipo CW de X) si se cumple las siguientes condiciones:

• Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula e) de tal forma que Φ_e(Bⁿ) = e y (donde aquí n = dim(e), , es decir, representa a la bola cerrada de centrada en le origen y de radio 1, , es decir, Bⁿ representa a la bola abierta de centrada en el origen y de radio 1 y es la esfera de centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de Φ_e a S^{n − 1} (esto es a ) se la denomina aplicación sujeción para la célula e.
• Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula , su clausura está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
• Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto es cerrado cuando y sólo cuando lo es (cerrado) en , cualquiera que sea la célula .