John Flinders Petrie

John Flinders Petrie (1907−1972) fue un matemático inglés, quien demostró una notable aptitud geométrica en su juventud. Cuando era un estudiante, conoció al gran geómetra Harold Scott MacDonald Coxeter, comenzando una amistad de toda la vida. Ellos colaboraron en el descubrimiento de los poliedros alabeados infinitos y los poliedros alabeados (pero finitos) en la cuarta dimensión, análogos a los anteriores. Además de ser el primero en darse cuenta de la importancia del polígono alabeado que ahora lleva su nombre, todavía son apreciadas sus habilidades como dibujante.

Biografía

Petrie, quien nació el 26 de abril de 1907, en Hampstead, Londres, era el único hijo varón de Sir William Matthew Flinders Petrie,^[1] el renombrado egiptólogo. Como estudiante mostró una notable promesa de capacidad matemática. En un internado en Inglaterra, él ocupó una cama contigua a la de Coxeter, recuperándose de un padecimiento trivial en el sanatorio. Se volvieron amigos para toda la vida. Mirando un libro de texto de geometría con un apéndice de los poliedros platónicos, se preguntaron por qué sólo había cinco y trataron de aumentar su número.^[2] Petrie comentó: ¿qué tal si ponemos cuatro cuadrados en torno de una esquina? Desde luego, éstos yacerían en un plano, brindando un patrón de cuadrados que cubrirían el plano.^[3] Siendo ingenioso con las palabras, a esta disposición le llamó “tesseroedro”;^[4] a la disposición semejante de triángulos, un “trigonoedro”.^[5]

Poliedros alabeados regulares

Un día de 1926, Petrie le dijo a Coxeter que había descubierto dos nuevos poliedros regulares; infinitos, pero libres de “vértices falsos” (puntos distintos a los vértices, donde se encuentran tres o más caras, como los que caracterizan a los poliedros estrellados regulares): uno que consiste de cuadrados, seis en cada vértice y otro que consiste de hexágonos, cuatro en cada vértice, los cuales forman una pareja dual o recíproca. A la objeción común de que no hay espacio para más de cuatro cuadrados en torno de un vértice, él reveló el truco: permitir que las caras se dispongan arriba y abajo marcando un zigzag. Cuando Coxeter comprendió esto, él mencionó una tercera posibilidad: hexágonos, seis en torno de un vértice, su propio dual.

Coxeter sugirió un símbolo de Schläfli modificado, {l, m | n} para estas figuras, con el símbolo {l, m} implicando la figura de vértice, m l–gonos en torno de un vértice y agujeros n–gonales. Entonces se les ocurrió que, a pesar de que los nuevos poliedros son infinitos, podrían encontrar poliedros finitos análogos adentrándose en la cuarta dimensión. Petrie citó uno que consiste en n² cuadrados, cuatro en cada vértice. Llamaron a estas figuras “poliedros alabeados regulares”. Más adelante, Coxeter profundizó en el tema.^[6]

La universidad y el trabajo

Debido a que su padre pertenecía a University College de Londres, Petrie fue a estudiar a dicho sitio, donde le fue bien. Cuando se desató la Segunda Guerra, se enlistó como oficial y fue tomado como prisionero por los alemanes. Allí organizó un coro. Después de que terminara la guerra y fuera liberado, fue a Darlington Hall, una escuela en el suroeste de Inglaterra. Tuvo un trabajo banal, trabajó por muchos años como maestro de escuela y al parecer nunca culminó su temprana capacidad matemática. Se volvió un tutor que atendía a los niños a los que les iba mal en la escuela.

El polígono de Petrie

Petrie seguía manteniendo correspondencia con Coxeter y fue el primero en notar que, entre las aristas de un poliedro regular, se puede distinguir un polígono alabeado formando un zigzag, en el cual la primera y segunda son las aristas de una cara, la segunda y tercera son artistas de otra cara y así, sucesivamente. Se conoce este zigzag como “Polígono de Petrie” y tiene muchas aplicaciones.^[7] Se puede definir el polígono de Petrie de un poliedro regular como el polígono alabeado (cuyos vértices no yacen todos en el mismo plano) tal que cada dos lados consecutivos (pero no tres) pertenecen a una de las caras del poliedro.^[8]

Cada poliedro regular finito puede proyectarse de manera ortogonal sobre un plano de tal suerte que el polígono de Petrie se torna en un polígono regular, con el resto de la proyección dentro de éste. Estos polígonos y sus gráficas proyectadas son útiles en la visualización de la estructura simétrica de los politopos regulares de dimensiones superiores, los cuales son muy difíciles de concebir o imaginar sin ayuda.

Habilidad para el dibujo

Sus habilidades como dibujante pueden apreciarse en un exquisito juego de dibujos del icosaedro estrellado, el cual proporciona gran parte de la fascinación del tan comentado libro al que ilustra.^[9] En otra ocasión, para explicar la simetría del icosaedro, Coxeter mostró una proyección ortogonal, representando 10 de los 15 círculos máximos como elipses. La difícil tarea de dibujo fue realizada por Petrie hacia 1932.^[10] Ahora destaca de forma prominente en la cubierta de un popular libro de matemáticas recreativas, aderezada con un toque de color.^[11] Se reporta que, en períodos de intensa concentración, él podía contestar preguntas acerca de complicadas figuras de la cuarta dimensión “visualizándolas”.^[12]

Últimos años de vida

Petrie se casó y tuvo una hija. Entonces, a finales de 1972, su esposa sufrió un repentino ataque cardíaco y falleció. La extrañaba tanto y se encontraba tan distraído, que caminó hacia una autopista cerca de su casa y, al intentar cruzarla, fue atropellado por un coche. Murió en Surrey, a la edad de 64 años, apenas dos semanas después de su mujer.

Notas

Referencias

• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987) (en inglés). Mathematical recreations and essays (13.ª edición). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-25357-0. 
• Coxeter, H. S. M. (1973) (en inglés). Regular polytopes (3.ª edición). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8. 
•     (1989) (en inglés). Introduction to geometry. Wiley Classic Library. Volumen 19 (2.ª edición). New York: Wiley. ISBN 9780471504580. 
•     (1995) (en inglés). Kaleidoscopes: selected writings of H. S. M. Coxeter. Introducción y compilación de F. A. Sherk; P. Mullen; A. C. Thompson; Ivić Weiss. New York: Wiley–Interscience Publication. ISBN 9780471010036. 
•    ; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999a) (en inglés). The fifty–nine icosahedra (3.ª edición). Tarquin. ISBN 9781899618323. 
•     (1999b) (en inglés). The beauty of geometry: twelve essays. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40919-8. 
• Hargittai, Balazs; Hargittai, István (2005) (en inglés). Candid science v: conversations with famous scientists. London: Imperial College Press. ISBN 9781860945069. 
• Kepler, Johannes (1997) [Publicado originalmente en 1619] (en latín). Harmonices mundi [The harmony or the world]. Tr. al inglés con introducción y anotaciones por E. J. Aiton; A. M. Duncan; J. V. Field. The American Philosophical Society. ISBN 0-87169-209-0. 
• ISBN 0-521-81496-0. 

Enlaces externos

• Jenkins, Nicholas. «John Flinders Petrie» (en inglés). W. H. Auden – ‘Family Ghosts’. Consultado el 21 de Julio de 2011..
• Weisstein, Eric W. «Petrie polygon» (en inglés). From MathWorld — A Wolfram Web Resource. Consultado el 21 de julio de 2011..