B-spline

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En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline es una función spline que tiene el mínimo apoyo con respecto a un determinado grado, suavidad, y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad, y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.^[1] El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica.^[2] Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera estable numéricamente por el algoritmo de Boor.

En el subcampo de informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva spline parametrica por funciones spline que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline.

Contenido

1 Definición
- 1.1 B-spline uniforme
- 1.2 B-spline cardinal
2 Notas
3 Ejemplos
4 Véase también
5 References

Definición

Dado m valores reales t_i, llamados nudos, con

$t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{m-1}$

una B-spline de grado n es una curva paramétrica

$\mathbf{S}:[t_0, t_{m-1}] \to \mathbb{R}^2$

compuesta por una combinación lineal de B-splines básicas b_i,n de grado n

$\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-2} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [t_{n-1},t_{m-n}]$ .

Los P_i se llaman puntos de control o puntos de Boor. Hay m-(n+1) puntos de control que forman un casco convexo.

Las m-n+1 B-splines básicas de grado n se pueden definir mediante la fórmula de recursión Cox-de Boor

$b_{j,0}(t) := \left\{ \begin{matrix} 1 & \mathrm{si} \quad t_j \leq t < t_{j+1} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

$b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).$

Cuando los nudos son equidistantes, la B-spline se dice que es uniforme, de otro modo seria no uniforme. Si dos nudos t_j son idénticos, cualquiera de las posibles formas indeterminadas 0/0 se consideran 0.

Nótese que j+n+1 no puede exceder de m-1, lo que limita tanto a j como a n.

B-spline uniforme

Cuando la B-spline es uniforme, las B-splines básica para un determinado grado n son sólo copias cambiadas de una a otra. Una alternativa no recursiva de la definición de la B-splines m-n+1 básica es

$b_{j,n}(t) = b_n(t - t_j), \qquad\; j = 0, \ldots, m-n-1$

con

$b_{n}(t) := \frac{n+1}{n} \sum_{i=0}^{n+1} \omega_{i,n}(t - t_i)_+^{n} \,\;$

$\omega_{i,n} := \prod_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{t_j - t_i} \,\;$

dónde

$(t - t_i)_+^n \,\;$

es la función de potencia truncada.

B-spline cardinal

Si se define B₀ como la función característica de $[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]$ , y B_k recursivamente como el producto convolución

$B_k := B_{k-1} * B_0, ~k =1, 2, \dots$

entonces B_k se llaman B-splines cardinal (centrada). Esta definición se remonta a Schoenberg.

B_k tiene soporte compacto $[-\tfrac{k+1}{2}, \tfrac{k+1}{2}]$ y es una función impar. Como $k \rightarrow \infty$ las B-splines cardinales normalizadas tienden a la función de Gauss [4].

Notas

Cuando el número de puntos de control de Boor es el mismo que el grado, la B-Spline degenera en una curva de Bézier. La forma de las funciones base es determinada por la posición de los nudos. Escalar o trasladar el vector de nudo no altera las funciones de base.

El spline esta contenido en el casco convexo de sus puntos de control.

Una B-spline básica de grado n

$b_{i,n}(t)\,\;$

es distinta de cero sólo en el intervalo [t_i, t_i+n+1] esto es

$b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} >0 & \text{si} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

En otras palabras si manipulamos un punto de control cambiamos sólo el comportamiento local de la curva y no el comportamiento global como con las curvas de Bézier.

La función base se pueda obtener del polinomio Bernstein.

Ejemplos

B-spline constante

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Es sólo la función indicador de los diferentes tramos de nudo.

$b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

B-spline lineal

La B-spline lineal se define en dos tramos de nudo consecutivos y es continua sobre los nudos, pero no diferenciable.

$b_{j,1}(t) = \left\{\begin{matrix} \frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\ \frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \text{si} \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\ 0 & \text{resto} \end{matrix} \right.$

B-spline cuadrática Uniforme

B-splines cuadráticas con nudo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función de mezclado puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

$b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^2 \\ -t^2 + t + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}(1-t)^2 \end{cases}$

Puesto en forma de matriz, esto es: http://graphics.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting.html

$\mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix}$ para $t \in [0,1], i = 1,2 \ldots m-1$

B-spline cúbica

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

$\mathbf{S}_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \mbox{ ; }\ t \in [0,1]$

donde S_i es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P $P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)$ donde el $w i$ es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control $P i$ mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, mientras que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 ( $S 3, S 4,..., S m$ ) definidas por m+1 puntos de control ( $P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3$ ) como un B-spline en t se definiría como:

$\mathbf{S}(t) = \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,3} (t)$

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dado los valores de los nudos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no es, o no necesariamente es, iguald (el vector de nudos de espacios de nudo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

B-splines cúbica uniforme

La B-splines cúbica con vector-nudo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función de mezcla puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

$\mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix}$ para $t \in [0,1].$

Véase también

Spline

References

↑ Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, pp. 113–114.
↑ Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, pp. 114–115.

Obtenido de "B-spline"

Categoría: Splines

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