Ley de Walras

Ley de Walras

La ley de Walras es, en la teoría del equilibrio general, un principio que establece que la suma de la demanda (o demanda agregada (D) debe igualar a, tomando en consideración los precios (p), la suma de la oferta (S), Es decir Σ pD - Σ pS = 0.[1]

De lo anterior siguen dos corolarios:

1: Si, en un sistema de n mercados, hay equilibrio en n − 1 mercados, el n-ésimo mercado estará en equilibrio.

2: Si, en un sistema de mercados hay un exceso de demanda positivo en algún sector, entonces debe haber el menos algún otro en el cual hay un exceso de demanda negativo.

Contenido

Origen y asunciones

El principio es llamado así en honor de Léon Walras, quien lo divulgo en sus cátedras en la Universidad de Lausana, formalizando una propuesta anterior (A su vez derivada de la Ley de Say) de John Stuart Mill en sus Essays on Some Unsettled Questions of Political Economy (1844).[2]

Walras generaliza a partir del proceso de tâtonnement walrasiano o subasta por tanteo en economías en las cuales existen muchos productores y ninguno puede controlar directamente el precio. Es decir, asume competencia perfecta. Walras postula que todos los bienes presentes en ese mercado pertenecen a la categoría de bien deseable y cualquier bien con exceso de oferta es siempre un bien gratuito.

Adicionalmente, Walras asume explícitamente que todos los ingresos de los participantes en los mercados solo se originan de la venta de bienes que ellos poseen (lo que implica que el trabajo es considerado una mercancía) y que la totalidad de esos ingresos serán utilizados directa e inmediatamente en el mercado (es decir, no hay ahorros).

Desde ese punto de vista, Walras considera que todos los participantes en el mercado son productores (incluyendo los individuos u hogares, quienes “producen trabajo”) y, consecuentemente, todos son “aceptadores de precio” (“preneurs de prix” en francés; “price takers” en inglés.) en la medida que todos están sujetos a los efectos de la demanda.

Hay también una variedad de asunciones implícitas que son objeto de debate (ver más abajo)

Formulación

En términos formales la ley de Walras se expresa generalmente de la siguiente manera: para cualquier sistema económico, esté o no en equilibrio, hay un conjunto de precios reales ( vector en el lenguaje formal) tal que la suma de los precios totales de todo lo ofrecido equivale a la suma de la demanda medida en dinero, consecuentemente, la sustracción de ambas cantidades es cero y todo lo puesto en el mercado se vende, lo que lleva al vaciamiento del mercado[3] .

\ \overrightarrow{p} \sum^{n}_{i = 1}[d( \overrightarrow{p})-s(\overrightarrow{p})]=0

En la cual d es la demanda. s es la oferta (del inglés supply) y \ \overrightarrow{p} es el vector de precios.

Una formulacion alternativa, siguiendo la terminología walrasiana, que considera que toda oferta se puede considerar demanda por algún otro bien (ver ley de Say) es:

\sum_{i=1}^n p_i E_i= 0

La cual establece que si definimos el exceso de demanda (E) sobre un bien “i” (de un universo “n” de bienes) como siendo Ei y asumimos que todo lo comprado iguala (monetariamente) a todo lo vendido o todos los ingresos equivalen a todas las ventas, sigue que todo los que los individuos pueden comprar (demandar) es igual a todos los precios de lo vendido. Sigue que la suma de cualquier putativa exceso de demanda es cero (o que los excesos en un sector del mercado deben equivaler exactamente, en términos monetarios, a las deficiencias en otro sector[4] ).

La aproximación conceptual a lo anterior es intuitiva:[5] si asumimos que los ingresos solo provienen de la venta -incluyendo venta de trabajo- todo lo comprado debe igualarse exactamente a todo lo vendido y no pueden haber excedentes monetarios de ningún tipo. Esto es más claro aún si no tomamos el dinero en consideración y concebimos las compraventas como intercambios de un bien por otro (Ley de Say). (Nótese que lo anterior no establece que los mercados estén en equilibrio, solamente que, en principio, no puede haber un exceso o falta de demanda). Una aproximación alternativa enfatiza algunos de los elementos de la problemática de la propuesta: Es el caso que una economía cualquiera todo lo vendido debe equivaler exactamente a todo lo comprado. Esa situación no equivale necesariamente al equilibrio tal como Walras lo define.[6] Eso establece un universo o conjunto de interrelaciones de precios tales que todos llevan a la venta de todo lo producido.

Existen una variedad de demostraciones formales de lo anterior.[7] [8] [9] [10] [11] [12]

Adicionalmente Walras postula que de ese universo de precios hay un conjunto específico (vector) tal que lleva a ese equilibrio.[13]

La demostración más general que hay un vector de precios tal que conducen al equilibrio es mucho más compleja[14] y se deriva del trabajo de John von Neumann[15] que, a su vez, se basa en el Teorema del punto fijo de Brouwer y su generalización, el Teorema del punto fijo de Kakutani. Tales propuestas dieron origen a una variedad de demostraciones económicas,[16] [17] tales como el Teorema de Equivalencia de Uzawa[18] que establece que “la existencia de equilibrio walrasiano es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer, es decir, la existencia de un punto fijo para cualquier función continua de un símplex n-dimensional a sí mismo“. Quizás la demostración más accesible se encuentra en la obra de Hal Varian.[19]

Una aproximación alternativa simplemente asume la existencia de equilibrio y se concentra en demostrar que tal equilibrio es estable. Esto se basa en la existencia de bienes sustitutivos y el uso de la matrices de diagonal dominante[20] [21] (ver método de Jacobi).[22] Esta aproximación fue introducida por Lionel Mckenzie.[23]

La demostración de los corolarios es trivial.

Crítica y desarrollos posteriores

La critica más usual a la ley de Walras es tanto el hecho que el equillibrio no se observa en la practica como alto nivel de demandas o constreñimientos que el modelo impone a fin de lograrlo[24] lo que ha llevado a algunos a sugerir que la propuesta es unrealista: "Sin embargo, no se ha logrado demostrar que las fuerzas del mercado que proceden por tanteos o aproximaciones sucesivas, lo que Walras llamó tâtonnements, conduzcan al equilibrio, ni que este sea único y estable. En este orden de ideas, H. Sonnenschein, estableció que las funciones de demanda neta que resultan del "modelo Arrow-Debreu" pueden tener cualquier forma, así la llamada ley de la demanda resulta poco verosímil y, en cambio, parece más probable que opere la inestabilidad de los tâtonnements Walrasianos. El propio (Gerard Debreu, 2001) señaló la imposibilidad de poder demostrar que el equilibrio económico general fuese único y estable, a menos que se recurriera a hipótesis extremadamente restrictivas muy alejadas de la realidad.”.[25]

Esto ha llevado a varias tentativas de mejoramiento.

Diagrama de precios y ventas (1985-1994) de nuevos alojamientos en la Isla de Francia

Por un lado, el desfase entre la predicción central del modelo (que los precios de mercado evolucionarían a un precio de equilibrio) y la realidad observada (ver, por ejemplo, diagrama de nuevos alojamientos en la “Isla de Francia”) ha llevado a varias propuestas. Quizás la más importante es el modelo de la telaraña[26]

Por el otro, el relajamiento de las condiciones que el modelo demanda, en la tradición de Arrow y Debreu[27] y Lionel W. McKenzie[28] lleva al conocido Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu, que establece, en relación a lo que nos interesa, que no solo hay más que un solo “vector de precios” que conduce al vaciamiento del mercado y que, por lo tanto, no se puede postular, en una mano, que haya un proceso tal como el tanteo que conduzca a un equilibrio único y estable sino también que ese equilibrio puede adoptar “cualquier forma”, lo que es una manera de decir que hay numerosos puntos (interrelaciones de precios) que pueden ser considerados de equilibrio.[29]

Si bien lo anterior es considerado negativo o desilucionante para los teóricos del equilibrio, tal relajamiento ofrece también varias ventajas[30] y establece las bases de mucho de los desarrollos de la teorías modernas del desequilibrio dinámico, las teorías no walrasianas[31] y las bases para las aproximaciones que buscan proveer microfundamentos para la macroeconomía.[32] (ver Nueva economía clásica y Nueva Economía Keynesiana).

Hay también algunas críticas a la demostracion de Uzawa. Por ejemplo, Benetti et al[33] argumentan que la demostración basada en los teoremas del punto fijo son matemáticamente convenientes, pero carecen de significado económico: el proceso descrito por el teorema no corresponde a ningún proceso realista de variaciones de precios.

En esa línea de argumentación se destaca la contribución de K. Vela Velupillai quien sugiere que el modelo estándar del cálculo del equilibrio (basado en los teoremas del punto fijo) no es ni computable ni constructivo en el sentido matemático. Es decir, en la practica económica, no se puede calcular un putativo punto de equilibrio. Velupillai no niega ni la conveniencia de asumir tal punto como su realidad, pero sugiere que el método utilizado no es suficiente para lograrlo.[34]

Esto ha dado lugar a varias tentativas alternativas de demostrar el “teorema de existencia” (especialmente el problema de la convergencia de los precios al punto de equilibrio), sin embargo “Aunque este enfoque ha demostrado ser más eficaz que los métodos de punto fijo, la convergencia no se ha demostrado teóricamente”.[35]

Diagonalización

El teorema del punto fijo de Brouwer especifica una función sobre un conjunto acotado unitario.

\ f(x)=x \Rightarrow f(x)-x=0

Traducido a términos económicos x son las cantidades. El agente llega al mercado y realiza unas compras, es decir, el individuo demanda unas cantidades de producto a un precio. Estas demanda son f(x). El sumatorio de las demandas menos el sumatorio de las ofertas tiene que ser igual a cero, según la Ley de Walras. El valor de las cantidades demandadas tiene que ser igual al valor de las cantidades ofrecidas. Cuando el precio es unitario

\ f(x)=x \Rightarrow f(x)-x=0

Pero también podremos utilizar una matriz diagonalizable. La diagonalización consiste en hallar una base de vectores propios asociado a valores propios. En este caso, la matriz a diagonalizar será A y representa las cantidades. El valor o valores propios representan el precio.

\ f(px)=px \Rightarrow \begin{vmatrix}A-p\end{vmatrix}x=0

Evidentemente, todas las matrices no son diagonalizables y los vectores cantidades tampoco podrán ser linealmente dependientes. Tienen que producirse subespacios espectrales para todos los precios cuya suma de sus dimensiones coincida con el rango de la matriz de cantidades.

\begin{vmatrix}A-p\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1,1}-p & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2}-p& a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}-p \end{vmatrix}

Matemáticamente el mercado puede, o no, vaciarse.

Notas y referencias

  1. ↑ Don Patinkin, [1987] 2008. "Walras's Law," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Resumen accesible
  2. ↑ John Stuart Mill (1844): "Es bien conocido que la cantidad de cualquier mercancía que puede ser vendida varía con el precio. Cuanto más alto sea el precio menos serán los compradores y menor la cantidad vendida. Cuanto más bajo sea el precio mayor sera, en general, el número de compradores y mayor será la cantidad vendida. Este es el caso de casi todos los productos, cualquiera que sean: aunque de algunos productos para disminuir el consumo en cualquier grado requeriría un aumento mucho mayor del precio que en otros.".."Cualquiera que sea la mercancía — estando dada la oferta en cualquier mercado, hay algun precio en el que el conjunto de la oferta encontrará exactamente compradores y no más. Ese, cualquiera que sea, es el precio al cual, por el efecto de la competencia, la mercancía será vendida. Si el precio es más alto el conjunto de la oferta no será vendida, y los vendedores, por su competencia, harán bajar el precio. Si el precio es menor, habrán compradores para una mayor oferta, y la competencia de estos compradores elevará el precio.".."Esto, entonces, es lo que queremos decir cuando decimos que el precio o valor de cambio depende de la oferta y la demanda. Expresariamos el principio con más precisión, si dijéramos, que el precio se regula de tal manera que la demanda será exactamente suficiente para absorver el suministro." en Essays on some unsettled Questions of Political Economy Esay I: OF THE LAWS OF INTERCHANGE BETWEEN NATIONS; AND THE DISTRIBUTION OF THE GAINS OF COMMERCE AMONG THE COUNTRIES OF THE COMMERCIAL WORLD
  3. ↑ John Stuart Mill (1844): "No puede haber nunca, se dice, una falta de compradores de todos los productos, porque quien ofrece un producto para la venta, desea obtener una mercancía a cambio de ella, y por tanto es un comprador por el mero hecho de ser un vendedor. Los vendedores y los compradores, tomando todos los productos en su conjunto, deben, por la necesidad metafísica del caso, estar en un equilibrio exacto entre sí, y si hay más vendedores que compradores de una cosa, debe haber más compradores que vendedores de otras." "Este argumento esta, evidentemente, fundada en la suposición de una situación de trueque, y, dado ese supuesto, es perfectamente incontestable. Cuando dos personas realizan un acto de trueque, cada uno de ellos es a la vez un vendedor y un comprador. Él no puede vender sin comprar. A menos que opte por comprar productos de otra persona, no vende el suyo." "A fin de que el argumento de la imposibilidad de un exceso de todos los productos sea aplicable al caso en el cual se emplea un medio de circulación, el dinero debe ser considerado como una mercancía. Debe, sin duda, ser admitidido que no puede haber un exceso de todas las demás mercancías y un exceso de dinero, al mismo tiempo."...." Es, sin embargo de suma importancia observar que el exceso de todas las mercancías, en el único sentido en que es posible, sólo significa una caída temporal en su valor relativamente al dinero. Suponer que los mercados de todos los productos podrían, en algún sentido que no sea este, tener un exceso implica el absurdo que los productos pueden caer en un valor relativamente a sí mismos, o que de dos productos, cada uno puede caer en precio relativamente al otro, A convirtiéndose en equivalente a B - x y B a A-x al mismo tiempo. Y es, quizás razón suficiente para no utilizar frases de esta clase que sugieren la idea de una producción excesiva. Una falta de mercado para un artículo puede derivarse de una excesiva producción de ese artículo, pero cuando las mercaderías en general se vuelven invendibles, es por una causa muy diferente, no puede haber una excesiva producción de mercancías en general." en Essays on some unsettled Questions of Political Economy ESSAY II. OF THE INFLUENCE OF CONSUMPTION ON PRODUCTION.
  4. ↑ Para un análisis más detallado, ver Lefteris Tsoulfidis; Competing Schools of Economic Thought p 173 y ss
  5. ↑ Hal R. Varian: “La ley de Walras dice algo bastante obvio: si cada uno de los individuos satisface su restricción presupuestaria, de tal manera que el valor de su exceso de demanda es nulo, el valor de la suma de los excesos de demanda debe ser nulo. Es importante darse cuenta que esta ley establece que el valor del exceso de demanda es idénticamente igual a cero cualquiera que sea el precio” en Análisis microeconómico p 372
  6. ↑ Ronald Wendner General Equilibrium: Positive Theory
  7. ↑ Hak Choi (2008): The Proof of the Original Walras' Law. Profitable Economics Working Paper, available at SSRN
  8. ↑ Hal R. Varian: Análisis microeconómico p 372
  9. ↑ ALVARO J. RIASCOS V El Análisis de Walras
  10. ↑ Robert Dixon (2000): A Formal Proof of Walras Law
  11. ↑ Ramón J. Torregrosa: Apuntes Equilibrio General p 4
  12. ↑ Wing Suen: General Equilibrium
  13. ↑ Sam Bucovetsky: What is an Equilibrium Price Vector?
  14. ↑ Andreu Mas Colell: “A pesar de sus esfuerzos, Walras no demostró formalmente que el tattonnement, entendido como mecanismo teórico, funcionase (local o globalmente).... Samuelson fue el primero que planteó explícitamente el tatonnement como un sistema de ecuaciones diferenciales....” en OBSERVACIONES SOBRE LA TEORIA DEL TATONNEMENT DE WALRAS p 192
  15. ↑ Bernard Guerrien*: “Von Newmann fue el primero que estableció un nexo entre la noción de equilibrio y la de punto fijo de una función, tal como se emplea en matemáticas; realmente de la misma manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la función -el punto fijo es tal que (f(x)=x)-; un equilibrio “no se mueve”, es fijo, cuando está sometido a distintas “fuerzas” de las cuales él es la resultante... (...)... Es mediante el empleo de esta especie de analogía que John Nash prueba en 1950, que todo juego no cooperativo, es decir,aquél en el cual cada uno sólo se preocupa por sus propias ganancias, admite al menos un equilibrio. Además, su demostración se apoya de manera decisiva en el teorema del punto fijo, establecido en 1910 por el matemático Jan Brower, que establece que toda función continua y limitada que “no efectúa saltos” y sólo toma valores finitos, admite al menos un punto fijo.” en LA MICROECONOMIA p 37-38
  16. ↑ Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. 
  17. ↑ J Geanakoplos (2003): NASH AND WALRAS EQUILIBRIUM VIA BROUWER
  18. ↑ Hirofumi Uzawa: Walras’s existence theorem and Brouwer’s fixed point theorem, Econ. Stud. Quarterly, 8(1962), 59–62.
  19. ↑ Hal R. Varian (1992): Análisis microeconómico p 373 a 377
  20. ↑ Giancarlo Gandolfo (1997): Economic dynamics p 252-54 y (esp) 414 (“Now, let us state without proof the following: Lemma: If the equilibrium prices are all positive, gross substitutability prevails, and Walras’s law, together with positive homogeneity, holds, then... (...)... Gross substitutability, then, implies global stability of general equilibrium”.)
  21. ↑ New School for Social Research Local Multi-market Stability secciión (B) Gross Substitution
  22. ↑ Kenneth J Arrow (1983) General equilibrium p 125
  23. ↑ L.W. McKenzie (1960) "Matrices with Dominant Diagonal in Economic Theory", in Arrow, Karlin and Suppes, editors, Mathematical Methods in the Social Sciences. Stanford: Stanford University Press
  24. ↑ Esta critica puede ser trazada a obra de Robert W Clower -1965. The Keynesian Counter Revolution: A Theoretical Appraisal (esp pp 292-4) en Frank.H. Hahn y F.P.R. Brechling, edtrs: The Theory of Interest Rates. Macmillan. Reimpresión (1987):,"The Keynesian Counter-Revolution: A Theoretical Appraisal," 34-58. esp pp 53-55 -. El “relajamiento” de las condiciones se ha transformado en una practica aceptada en teoría económica. Ver, por ejemplo: Y Balasko et al (1979): Existence of Competitive Equilibrium in a General Overlapping-Generations Model
  25. ↑ Hortencia Rueda L: Debilidades de la teoría Del equilibrio general p 110
  26. ↑ Lex Borghans (1991) The Cobweb Theorem: A Rational Interpretation
  27. ↑ Kenneth J. Arrow y Gerard Debreu (1954): Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy para un resumen de las condiciones de Arrow y Debreu, ver EconomyProfessor.com, Retrieved 2010-05-23
  28. ↑ L.W. McKenzie (1959): On the Existence of General Equilibrium for a Competitive Market (ver también E. ROY WEINTRAUB [http://econ.duke.edu/HOPE/CENTER/Working%20Paper%20Series/McKenzie_paper_SSRN.pdf Lionel W. McKenzie and the Proof of the Existence of a Competitive Equilibrium]
  29. ↑ Para una introducción a este aspecto ver Kenneth J. Arrow and Leonid Hurwicz (1958): On the Stability of the Competitive Equilibrium, I p 528 y dé atención a nota 19
  30. ↑ Marco Lehmann-Waffenschmidt (2007): Economic evolution and equilibrium: bridging the gap p 41 (Evolution in an Exchange Equilibrium Framework Without Walras’ Law and Homogeneity)
  31. ↑ ver Jean-Pascal Benassy (1975): Neo-Keynesian Disequilibrium Theory in a Monetary Economy; Frank Hahn (1978): On Non-Walrasian Equilibria; Takashi Negishi (1989): Economic Theories in a Non-Walrasian Tradition
  32. ↑ JAMES R. RHODES (1984): WALRAS‘ LAW AND CLOWER'S INEQUALITY
  33. ↑ Carlo Benetti, Alejandro Nadal, and Carlos Salas Páez: The Law of Supply and Demand in the Proof of Existence of General Competitive Equilibrium
  34. ↑ Por ejemplo: Velupillai (2005): The Foundations of Computable General Equilibrium Theory
  35. ↑ Anna Nagurney (2002): Walrasian Price Equilibrium

Bibliografía


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