Matriz traspuesta

Matriz traspuesta

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta, denotada con At está dada por

(A^t)_{ij} = A_{ji},\ 1\le i\le n,\ 1\le j\le m

En donde el elemento aji de la matriz original A se convertirá en el elemento aij de la matriz transpuesta At.

Contenido

Ejemplos

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}

Propiedades

Para toda matriz A

(A^t)^t = A \,

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo \mathcal{A} y sea c \in \mathcal{A} :

(A + B)^t = A^t + B^t \,
(c \, A)^t = c \, A^t

Si el producto de las matrices A y B está definido,

(AB)^t = B^tA^t \,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

A^t A \,

es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

A^t = A \,

Es antisimétrica si coincide con su negativa.

A^t = -A \,

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

A^t = \bar{A}, \quad A = (\bar{A})^t = A^\dagger

y antihermítica si

A^t = -\bar{A}

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (la matrices simétricas son un caso particular) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

La definición de matriz transpuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.

Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la transposición de matrices.


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