Matriz traspuesta conjugada

Matriz traspuesta conjugada
Para la matriz utilizada para calcular la inversa de una matriz, véase matriz de adjuntos.

En matematicas la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz A es una matriz A+ obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz A=(a_{ij})\in\mathbb{C} es definido como (A_{ij})^*=\bar a_{ji}, el traspuesto de A y todas las posiciones aij conjugadas. Nota que si A=(a_{ij})\in\mathbb{R} \Rightarrow A^*=A^T, es decir el traspuesto pues todas las posiciones son reales y tenemos el caso real. También nombrado hermitiano adjunto, la hermítica o hermitiano conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Contenido

Definición

Si \mathbf{A} es una matriz de n x m sobre los complejos: A\in M_{n\times m}(\mathbb{C}) de la forma:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm}\\ \end{pmatrix}

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz \mathbf{A}, produce a la matriz traspuesta:

\mathbf{A}^+ = \begin{pmatrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} & \bar{a}_{31} & . & . & .& \bar{a}_{n1}\\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} & \bar{a}_{32} & . & . & .& \bar{a}_{n2}\\ \bar{a}_{13} & \bar{a}_{23} & \bar{a}_{33} & . & . & .& \bar{a}_{n3}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ \bar{a}_{1m} & \bar{a}_{2m} & \bar{a}_{3m} & . & . & .& \bar{a}_{nm}\\ \end{pmatrix}

Propiedades

Una matriz cuadrada \mathbf{A}^+ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y \mathbf{A}^+ = \mathbf{A}.

Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones:

1. (A+)+ = A.

2. (A + B)+ = A+ + B+.

3. Para cualquier escalar r, (rA)+ = r*A+.:::

4. (AB)+ = B+A+

Otras denominaciones

A * también es escrito AH

Ejemplo

Una matriz A= \begin{pmatrix} 2i & 6-i \\ 3+i & 4 \end{pmatrix} tiene el traspuesto conjugado A^*= \begin{pmatrix} -2i & 3-i \\ 6+i & 4 \end{pmatrix}

Propiedades

Desde la definición se ve las siguientes propiedades:

(A * ) * = A

(AB) * = B * A *

(A − 1) * = (A * ) − 1 si la matriz A es invertible

Linealidad \left\{\begin{matrix}(A+B)^*=A^* + B^* \\ (\lambda A)^*=\lambda^* A^* \end{matrix}\right. donde λ * es el conjugado (complejo) de λ


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