Matriz permutación

Matriz permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definición existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutación impar (con el determinante igual a -1).

Para n = 3 se tiene:

Matrices de permutación par:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Matrices de permutación impar:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto.

Propiedades

  • El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.
  • El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutación es la matriz traspuesta correspondiente.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación es una matriz ortogonal.
  • El producto de matrices de permutación par siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación impar siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación de paridad distinta siempre genera una matriz de permutación impar.
  • Observe que las matrices de permutación par conforman un semigrupo y que además el grupo de matrices de permutación no es conmutativo.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación fuera del semigrupo es una matriz simétrica.

Véase también


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