Serie de Lambert

Serie de Lambert


En matemática, una serie de Lambert series, llamada así en honor a Johann Heinrich Lambert, es una serie que toma la forma

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}.

Esta puede ser expresada formalmente mediante la expansión del denominador:

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m

donde los coeficientes de esta nueva serie vienen dados mediante la convolución de Dirichlet de an con la función contante 1(n) = 1:

b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n. \,

Esta serie puede ser invertida mediante el uso de la fórmula de inversión de Möbius, y es un ejemplo de transformada de Möbius.

Contenido

Ejemplos

Dado que la última suma es una suma típica usada por los teóricos de números, casi cualquier función multiplicativa será exactamente sumable cuando sea usada en una serie de Lambert. Así pues, por ejemplo, se tiene que

\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_0(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}{1-q^n}

donde σ0(n) = d(n) es el número de divisores de  n. Para funciones divisor de orden superior, uno tiene que

\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_\alpha(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\alpha q^n}{1-q^n}

donde α es cualquier número complejo y

\sigma_\alpha(n) = (\textrm{Id}_\alpha*1)(n) = \sum_{d\mid n} d^\alpha \,

es la función divisor.

Las series de Lambert en las cuales an son funciones trigonométricas, por ejemplo, an = sin(2n x), pueden ser evaluadas mediante varias combinaciones de derivadas logarítmicas de funciones theta de Jacobi.

Entre otras series de Lambert, está la que utiliza la función de Möbius μ(n):

\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = q.

Para la función φ de Euler ϕ(n):

\sum_{n=1}^\infty \varphi(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = \frac{q}{(1-q)^2}.

Para la función de Liouville λ(n):

\sum_{n=1}^\infty \lambda(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2}

cuya expresión suma de la izquierda es similar a la función theta de Ramanujan.

Forma alternativa

Sustituyendo q = e − z se obtiene otra forma común de expresar esta serie, como

\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz}

donde

b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n\,

como se ha dicho antes. Ejemplos de series de Lambert de esta forma, con z = 2π, aparecen en expresiones de la función zeta de Riemann para valores enteros impares; para más detalles, véase constantes zeta.

Uso actual

En la literatura matemática podemos encontrar el término series de Lambert aplicado a una amplia variedad de las sumas. Por ejemplo, ya que qn / (1 − qn) = Li0(qn) es una función polilogarítmica, se suele referir a cualquier suma de la forma

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\xi^n \,\mathrm{Li}_u (\alpha q^n)}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n \,\mathrm{Li}_s(\xi q^n)}{n^u}

como una serie de Lambert, asumiendo que los parámetros están convenientemente limitados. Así

12\left(\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \, \mathrm{Li}_{-1}(q^n)\right)^{\!2} = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \,\mathrm{Li}_{-5}(q^n) - \sum_{n=1}^{\infty} n^4 \, \mathrm{Li}_{-3}(q^n),

la cual se cumple para todos los complejos q que no están en el círculo unitario, podría considerarse como una identidad de series de Lambert. Esta identidad resulta de una forma sencilla de algunas identidades publicada por el matemático indio S. Ramanujan. Una exploración muy completa de las obras de Ramanujan se pueden encontrar en trabajos de Bruce Berndt.

Véase también

Referencias


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