Función de Möbius

Función de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

Contenido

Definición

μ(n) está definida para todos los números naturales n y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

  • μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos distintos.
  • μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos distintos.
  • μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

  • ω(n) obtiene el número de primos distintos que dividen el número.
  • Ω(n) obtiene el número de factores primos de n, incluyendo sus multiplicidades. Claramente, ω(n) ≤ Ω(n).

Así, se define la función de Möbius como


\mu(n)=
\begin{cases} 
(-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\mbox{si }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\mbox{si }\;\omega(n) < \Omega(n).
\end{cases}

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

los 50 primeros valores de la función μ(n).

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.


\sum_{d | n} \mu(d) = 
\begin{cases}1&\mbox{ si } n=1\\
0&\mbox{ si } n>1.
\end{cases}

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

Teoría de números

Artículo principal: función de Mertens

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

para todo número natural n.
Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.

Véase también


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