Base de Hamel

Base de Hamel

Base de Hamel

Una Base de Hamel H de un espacio vectorial X sobre un cuerpo (K,+,\cdot) consiste en un subconjunto de X que cumple:

1)Es linealmente independiente: \forall F \subseteq H ,F \;\mathrm{finito}\;, \sum_{f\in F} \lambda_f \cdot f = 0_{X}, \mathrm{con} \;\lambda_{f} \in K \Rightarrow \lambda_f = 0_{K}

2)Genera X, es decir: \forall x \in X, \exist\; F \;\mathrm{finito}, F\subseteq H \; \mathrm{tal\; que:}\; \sum_{f\in F}\lambda_f \cdot f=x, \; \mathrm{con}\;\lambda_{f} \in K

Es posible demostrar en base al Axioma de Elección (o más directamente, en base a alguna de sus formas equivalentes como el Lema de Zorn o el Principio maximal de Hausdorff), que todo espacio vectorial admite una Base de Hamel.

Como ejemplo interesante podemos considerar a los números reales generados como espacio vectorial sobre los racionales. Se puede afirmar entonces que existe un H \subset \mathbb{R},la base de Hamel, tal que cualquier otro real puede ser escrito en forma única como una combinación lineal finita de racionales, con elementos de dicha base.

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