Combinación lineal

Combinación lineal

Un vector \ x se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores \ A = \{ x_1, x_2, x_3,...,x_n \}\in (V,\mathbb{K}) si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de \ A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar \ a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}, de forma que:

\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i.

Así, \ x es combinación lineal de vectores de \ A si podemos expresar \ x como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de \ A.

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir z = x + \frac{3}{2} y sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto \ A necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector \ x en cuestión.

Expansión lineal

Dado un conjunto de vectores A\,, finito o infinito, se llama expansión lineal, denotada como span(A) al conjunto:

\mbox{span}(A) = \{v\in V_\mathbb{K} | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K} \exists x_1,\dots x_n \in V_\mathbb{K}: v = \sum_{i=1}^n a_nx_n \}

Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V_\mathbb{K} que contiene al conjunto A\,.

Véase también


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